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几种定积分的数值计算方法 摘 要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract: Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords: Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数在区间连续且原函数为,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数在区间连续且原函数为,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: 函数的原函数无法用初等函数给出.例如积分 , 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 函数使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 函数的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 在几何上表示以为底,以曲线为曲边的曲边梯形的面积,因此,计算的近似值也就是的近似值,如图1所示.沿着积分区间,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设上等分的小区间,其中表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到的近似值.若取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则 图1 分割曲边矩形近似积分 2.2 梯形法 梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到的近似值,即. 图2 分割曲边梯形近似积分 2.3抛物线法 抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边,曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积,如图3所示. 图3 抛物线积分 对应的曲线上的点可以唯一地确定一条抛物线,这条抛物线将作将代替从至的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿—莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积: 上面利用了条件是抛物线上的点以及等式.同理可证： …… 所以, 3.概率意义上的数值算法 概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现 .尽管算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高.概率算法可用于计算定积分的近似值. 3.1平均值法 考虑定积分的近似计算,其中在内可积,用平均值法计算该积分,首先随机产生个独立的随机变量,且服从在上均匀分布,即;其次,计算的近似值,. 由中心极限定理知,若相互独立、同分布,且数学期望及标准差存在,则当充分大时,随机变量渐近服从正态分布,即对任意的, 这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢,在概率意义下的误差阶仅为. 3.2“类矩形”Monte-Carlo方法 由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为 ,就有对平均值法的改进，“类矩形” Monte-Carlo方法,改进过程为：先将积分区间等分, 随机产生个相互独立且服从上均匀分布的随机变量序列；然后由这个随