解决解析几何问题的三个关.doc

解决解析几何问题的三个关 湖南祁东中等职业学校 周子云 湖南祁东育贤中学 周友良 ㈠ 翻译关 例1. 已知椭圆，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求： （1）的最小值； （2）的最小值和最大值。 解：（1）如图1，A为椭圆的右焦点，作PQ⊥右准线于点Q，则由椭圆的第二定义， 图1 问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为。 （2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则 根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 即。当P到P”位置时，，有最大值，最大值为；当P到P’位置时，，有最小值，最小值为。 思考：言外之意，弦外之音，你明白了没有？“换一种说法”可是等价转化中很重要的一招呵。 例2．设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。 分析：（Ⅰ）易得椭圆的方程为 . （Ⅱ）由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）. ∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）. ① 又点M异于顶点A、B，∴－2x02，由P、A、M三点共线可以得P（4，）. 从而＝（x0－2，y0），＝（2，）. ∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）. ② 将①代入②，化简得·＝（2－x0）. ∵2－x00，∴·0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角， 故点B在以MN为直径的圆内。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－2x12，－2x22，又MN的中点Q的坐标为（，）， 依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差 －＝(－2）2＋（）2－[(x1－x2)2＋(y1－y2)2] ＝（x1－2) (x2－2)＋y1y1 eq \o\ac(○,3) 又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝， 而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上， ∴，即y2＝ eq \o\ac(○,4) 又点M在椭圆上，则，即 eq \o\ac(○,5) 于是将 eq \o\ac(○,4)、 eq \o\ac(○,5)代入 eq \o\ac(○,3)，化简后可得－＝. 从而，点B在以MN为直径的圆内。 点评：此题的证明思路为 证明B点在以MN为直径的圆内∠MBN为钝角∠MBP为锐角·0 所以解这题的思路本质是对上述母题的向量方法的充分理解。本题过好翻译转化关是解决问题的关键。 ㈡ 运算关 例3. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。 由方程组消去后得 由，得 （1） 又P、Q在直线上， 把（1）代入，得， 即 化简后，得 （4） 由，得 把（2）代入，得，解得或 代入（4）后，解得或 由，得。 所求椭圆方程为 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 例4．已知双曲线x2－2y2＝4。求以P(4，1)为中点的双曲线的弦AB所在的直线的方程。 解法一：(设斜率k，求交点) 设过点P的弦AB的方程为：y－1＝k(x－4)代入－＝1得(1－2k2)x2＋4k(4k－1)x－32k2＋16k－6＝0① 又P为AB之中点 ＝4解得k＝2 故AB所在的直线方程为：2x－y－7＝0 解法二：(设而不求) 设A(x1，y1)，B(x２，y２)则由A、B两点都在双曲线上，有－＝① － ＝1② ②－①得＝0 由于P是AB之中点 ∴＝4 　　＝1 代入上式得kAB＝＝2 ∴AB所在直线的方程为2x－y－7＝0 解法三：(设而不求) 设A(x1，y1) ∵AB的中点是(4，1) ∴B(8－x1，2－y1) ∵AB都在双曲线上 (1)－(2)得：16x1－8y1－56＝0→2x－y－7＝0 解法四：（参数方程法）设AB所在的直线方程为：代入椭圆方程并整理得 ∵　P(4,1)为弦的中点，∴　 即　 即　k=2 故AB所在的直线方程为：2x-y-7=0 ㈢ 思路关 解析几何综合题是高考命题的热点内