解析几何试题.doc

PAGE 1 解析几何试题A 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 得分 评卷人 一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称. ? ? ? 1． 　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 2．　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 4．　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 5．　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 得分 评卷人 　　二．（10分）试证：对于给定的四个向量 ， ， ， ，总可以确定三个实数 ， ， ，使得 ， ， ， 构成封闭折线. 得分 评卷人 　　三．（15分）设向量 ， ， 两两互相垂直， ， ，并且向量 ，证明： . ? ? 得分 评卷人 四．（10分）试求经过点和轴的平面方程. 得分 评卷人 　　五 、（10分）试求经过点 ，并且与直线 ： 和 ： 都相交的直线的方程. 得分 评卷人 六、（10分）证明直线：与 ：是异面直线. 得分 评卷人 七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数 的点的轨迹方程，并根据 的取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 得分 评卷人 八、（10分）试求单叶双曲面：上，经过点的两条直母线方程. ? 得分 评卷人 　　九、（15分）在欧氏平面上，将方程 化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线. 解析几何试题A参考答案及评分标准 一、（10分）写出下列方程在空间所表示的图形名称. 1．　　　　虚椭球面　　 2．　　　　二次锥面（圆锥面）　　　 3．　　　　单叶双曲面　　 4．　　　　椭圆抛物面　　 5．　　　　抛物柱面　　　. 二、（10分）试证：对于给定的四个向量，，，，总可以确定三个实数，，，使得，，，构成封闭折线. 证明：假设，，，构成封闭折线，则 　 　　　　　　　　　　　　　（4分） 　　　于是　　　　　　 　　　　　　　（6分） 　　　解出　　　　　　　　　　，， 　　　所以命题成立.　　　　　　　　　　　　　　　　（10分） 三、（15分）设向量，，两两互相垂直，，，并且向量，证明： . 证明：因为　　　， 　　　由题设条件可得　　　　　　　 ，　　　　　　　（5分） 　　　于是　　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　　　　　　， 　　　　　　　　　　　　　　　 　　（12分） 　　　所以　　　　　 （15分） 四、（10分）试求经过点和轴的平面方程. 解：由于平面过x轴，可设为　　　　 　　　　　　　　　（5分） 　　以代入，得　　　 　　于是　　　　　　　　　　　　B：C＝1：2　　　　　　　　　（8分） 　　故所求平面方程为　　　　　　 　　　　　　　　　（10分） 五、（10分）试求经过点，并且与直线：和：都相交的直线的方程. 解：过与直线的平面方程为 　　　　　　　　　　　　　　　 　　即　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　（4分） 　　过与直线的平面方程为 　　　　　　　　　　　　　　　 　　即　　　　　　　　　　　 　　　　　　（8分） 　　∴所求直线方程为　　　　 （10分） 六、（10分）证明直线：与：是异面直线. 证明： 的方向向量 ， 的方向向量 　　　（4分） 　　　取 ， 上的点 ， 　（6分） 　　　计算　　　　　　　　　　　 　　　所以 与 是异面直线.　　　（10分） 七、（10分）试求到定点与定直线的距离之比等于常数的点的轨迹方程，并根据的取值范围，说明轨迹的形状（注：假定定点不在定直线上）. 解：设定点不在定直线上，建立坐标系，使定直线为x轴，定点为，（）. 　　设动点为，则由假设可知 　　　　　　　　　　　　　　　　， 　　即　　　　　　　　　　　 　　平方，得　　　　　　　 （5分） 　　①当时，得　　　　　　 　　　即　　　　　　　　　　　　 　　　此为抛物柱面.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8分） 　　②当时，得　　　　， 　　　则当时，此为单叶双曲面； 　　　当 时，此为椭球面.　　　　　　　　（10分） 八、（10分）试求单叶双曲面：上，经过点的两条直母线方程. 解：上两族直母线： 　　　族： 族： 将 分别代入，可得 ， 　　　（6分） 　　分别代入，可得所求直线方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　即　　　　　 　　　　　　　　　　 　.（10分） 九、（15分）在欧氏平面上，将方程化成标准型，作出其图形，说明原方程表示什么曲线. 解：由　　　　 　　得　　　　　　　　 　　 　　于是