三角函数倍角公式.doc

word完美格式 精心整理 学习帮手 三角函数倍角公式 复习重点:二倍角公式 二倍角的正弦公式： sin2A＝2sinAcosA 二倍角的余弦公式： cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1 二倍角的正切公式： tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 对公式的再认识： (1) 适用范围：二倍角的正切公式有限制条件： A≠kπ＋且A≠＋ (k∈Z)； (2) 公式特征：二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例；二倍角关系是相对的。 (3) 公式的灵活运用：正用、逆用、变形用。 复习难点:倍角公式的应用 复习内容: 小结： 倍角公式： sin2A＝2sinAcosA cos2A＝cos2A－sin2A＝2cos2A－1 tan2A＝ 化“1”公式（升幂公式） 1＋sin2A＝(sinA＋cosA)2， 1－sin2A＝(sinA－cosA)2 1＋cos2A＝2cos2 1－cos2A＝2sin2 降幂公式 cos2A＝ sin2A＝ 二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即: 　　 　　由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定. 　　倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即， 进一步得到半角公式: 　　 　 降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即: 　　，，这组公式叫做“万能”公式. 　　教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出. 　　例1．推导三倍角的正弦、余弦公式 　　解:sin3α=sin(2α+α) 　　 　　cos3α=cos(2α+α) 　　 　　例2．利用三倍角公式推导sin18°的值. 　　解:∵ sin36°=cos54°,∴ 2sin18°cos18°=4cos318°-3cos18° 　　∵ cos18°≠0　　 ∴ 2sin18°=4cos218°-3　 ∴ 2sin18°=4-4sin218°-3　　∴ 4sin218°+2sin18°-1=0 　　∴ . 本题还可根据二倍角公式推出cos36°. 　　即. 　　例3．化简求值:(1) csc10°-sec10°(2) tan20°+cot20°-2sec50° 　　解:(1) csc10°-sec10° 　　 　　(2) tan20°+cot20°-2sec50° 　　 　　例4．求:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 　　解:sin220°+cos250°+sin30°sin70° 　　 　　例5．已知:.求: cos4θ+sin4θ的值. 　　解:∵, 　　∴ , 即， 　　即 ，∴ cos4θ+sin4θ 　　 　　例6．求cos36°·cos72°的值. 　　解:cos36°·cos72° 　　 　　例7．求:的值. 　　解: 　　 　　上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式.而能采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足（1）余弦相乘，（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是π.满足这三个条件即可采用这种方法. 　　例8．已知:2cosθ=1+sinθ，求. 　　方法一: ∵2cosθ=1+sinθ，∴ 　　∴ 或，∴ , 　　∴ ,∴ 或 =2. 　　方法二:∵ 2cosθ=1+sinθ， ∴ ,　 　　∴ , 　　∴ 或 ,∴ 或 =2. 　　例9．已知:，求:tanα的值. 　　解:∵，∴ ， 　　∵ 0≤α≤π,　　 ∴ ,∴ 　　(1)当时,　 ， 　　则有,∴， ∴ ， ∴ ， 　　∴ . 　　(2)当，则有 ，　　∴ ，　　 ∴，∴. 　　注意:1与sinα在一起时，1往往被看作，而1与cosα在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉. 　　例10．已知:sinθ, sinα, cosθ为等差数列;sinθ,sinβ, cosθ为等比数列.求证:2cos2α=cos2β. 　　证明:∵ ， ∴ 　　∴ 4sin2α