2.3.4__平面与平面垂直的性质.ppt

例 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，AB=2， ，侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角. P A B C D E 练习：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB P A B C E 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB P E D A C B D1 A1 C1 B1 F 例3.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　P是AD的中点,求二面角A－BD1－P的正切值. 练习.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60°. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小. 练习.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的大小. 证明: (1)由题设知，A1M⊥平面ABC， 又A1M 平面AA1C1C， ∴(1)平面AA1C1C⊥底面ABC， 又BC⊥AC， 平面AA1C1C∩平面ABC=AC， ∴BC ⊥平面AA1C1C 练习.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C；(2)求二面角B-AA1-C的大小. 证明: (2)由题设知，A1M⊥平面ABC， ∴AA1与底面ABC所成角为∠A1AC, ∴∠A1AC=60o, 又M是AC中点， ∴△AA1C是正三角形, 作CN⊥AA1于N， ∴点N是AA1的中点, 连接BN， 由BC ⊥平面AA1C1C， ∴BC⊥AA1， ∴作AA1 ⊥平面BNC， ∴AA1 ⊥BN ， ∴∠BNC是二面角B--AA1—C的平面角， 练习.已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M. 又知AA1与底面ABC所成的角为60. (1)求证：BC⊥平面AA1C1C； (2)求二面角B-AA1-C的正切. 设AC=BC=a， 正三角形AA1C的边长为a， ∴在直角三角形BNC中， ∴二面角B—AA1—C的正切是 例3.如图四棱锥P-ABCD中，底面四边形为正方形， 侧面PDC为正三角形，且平面PDC 底面ABCD， E为PC中点。 （1）求证：PA 面EDB. （2）求证：平面EDB 平面PBC. （3）求二面角D-PB-C的正切值。 A B C P E D O (2)问的关键是在一个面内找到另一个面的垂线,由于要寻 找垂直条件故应从已知与垂直有关的条件入手,突破此问. 因为BC CD所以BC 面PDC 所以 BC DE 又因为E是中点所以 DE PC.综上 有DE 面PBC. A B C P E D F (3)问的关键是找到二面角的平面角上 问知DE 面PBC,所以过E做EF PB ,连接FD,由三垂线定理知 DEF为二 面角平面角.将平面角放在直角 三角形中可解得正切值为 　　 B1 A1 C1 A B C 例： 在直三棱柱ABC－A1 B1 C1中， ∠ BAC=90o，AB=BB1=1，直 线B1C与平面ABC成30o 的角， 求二面角B－B1C － A的余弦值。 C1 A A1 B1 B C 解：作AN BC于N，则AN 平面 BCC1B1，作NQ B1C于Q，则AQ B1C AQN是二面角B B1C A的平面角。 AN BC=AB AC AN= AB AC BC = 3 6 1 2 3 = AN AQ 又 AC AB1 AQ B1C=AC AB1 AQ= = =1 AB1 AC B1C 2 2 2 3 3 Sin Cos AQN= = 3 6 AQN= Q N 在四面体P—ABC中，PC