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2011届高考数学文科考点专题复习48
●基础知识 一、棱柱的概念与性质 (1)棱柱的概念 如果一个多面体有两个面 ,而其余各面都是 形,并且每相邻两个 的公共边都 ,由此面围成的 叫做棱柱. 侧棱 底面的棱柱叫做斜棱柱;侧棱 底面的棱 柱叫做直棱柱;底面是 的直棱柱叫做正棱柱. (2)棱柱的性质 ①所有的侧棱都相等,各个侧面都是 ; ②两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 ; ③过不相邻的两条侧棱的截面都是 . (3)棱柱的侧面积和体积公式 ①直棱柱的侧面积和体积公式 如果直棱柱的底面周长是c,高是h,那么它的侧面积是S直棱柱侧= . 如果直棱柱的底面面积是S,高是h,那么它的体积是V直棱柱= . ②斜棱柱的侧面积和体积公式 如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长为c,侧棱长为l,那么斜棱柱的侧面积是S斜棱柱侧= . 如果斜棱柱的直截面的面积为S,侧棱长为l,那么它的体积是V斜棱柱= . 二、长方体 (1)几个概念:底面是 叫做平行六面体. 叫做直平行六面体, 叫做长方体. 叫做正方体. (2)长方体的对角线的性质:长方体的一条对角线长的平方等于 . 温馨提示:(1)正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱,因此正四棱柱一定是长方体,长方体不一定是正四棱柱. 三、棱锥的概念和性质 (1)棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是 的三角形,那么这个多面体叫做棱锥. (2)性质定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,并且它们面积的比等于 . 归纳拓展:(1)如果棱锥的各侧棱相等或各侧棱与底面成等角,那么顶点在底面上的射影是底面多边形的外心; (2)如果棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等,那么顶点在底面上的射影是底面多边形的内心; (3)如果三棱锥的三条侧棱两两垂直,那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心. 四、正棱锥的概念与性质 (1)正棱锥:如果一个棱锥的底面是 ,并且顶点在底面的射影是 ,这样的棱锥叫做正棱锥. (2)正棱锥的性质: ①正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 ,各等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高,正棱锥的斜高相等. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 ;正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个 . 五、棱锥的面积与体积 (1)棱锥的全面积(S全)等于底面积(S底)和侧面积(S侧)之和,即S全= . 若c为正棱锥的底面周长,h′为斜高,则S侧= ch′. (2)棱锥的体积等于它的底面积(S)与高(h)的乘积的三分之一,即V棱锥= Sh. ●易错知识 一、概念理解错误 1.下面是关于正三棱锥的四个命题: ①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥;④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中,真命题的编号是________(写出所有真命题的编号). 解题思路:①顶点在底面内的射影是内心,又底面是正三角形,故为中心,∴①正确;②如图(1)中,AC=BC=CD=BD=AD≠AB,每个侧面都是等腰三角形,但此棱锥不是正三棱锥,∴②错误;③如图(2),以正六边形ABDEFG的一边AB为边,作正△ABC,正六边形的中心O为三棱锥S-ABC的顶点S的射影.满足条件:三棱锥的侧面积全相等,但不是正三棱锥,∴③错误;④由已知,顶点在底面内的射影是底面三角形的内心,也是外心,故底面三角形为正三角形,又可推导出各侧棱、斜高彼此相等,故各侧面为具有公共顶点的等腰三角形,故棱锥为正三棱锥,∴④正确.综上所述①④正确. 失分警示:误区1:判断①是错误的,原因是把多面体的底面理解为其底面所在的平面,如图(2),二面角S-AC-O、S-BC-O、S-AB-O都相等,但不是正棱锥.注意,侧面SAB与底面ABC所成的二面角是S-AB-C,不是S-AB-O. 误区2:判断②或③是正确的,直观认为正三棱锥满足②、③的条件,而又举不出反例,就认为正确. 误区3:判断④错误,原因是由三角形的内心、外心重合而推导不出三角形为正三角形,或者对正三棱锥的概念理解不透,底面是正三角形,顶点在底面内的射影是底面正三角形的中心两个条件吃不准,而妄加判断. 启示:对棱柱、棱锥、正棱柱、正棱锥的有关概念,相应性质要深刻理解,把握准确,特别是正棱柱、正棱锥条件要求很高,不可缺少. 答案:①④ 二、
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