椭圆与直线的位置关系习题课.doc

椭圆与直线的位置关系习题课 教学目标 1.复习巩固直线与椭圆相交时的弦长问题（弦长公式）； 2.掌握求解直线与椭圆相交时弦的中点问题的一般求法. 教学重、难点：直线与椭圆相交弦的中点问题. 教学过程： （一）复习： 1．直线与椭圆的位置关系的判定方法； 2．直线与椭圆相交所得弦长的求法（弦长公式）. （二）新课讲解： 1．中点弦问题： 例1．求以椭圆内的点为中点的弦所在直线方程. 解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能是弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，， 则，消去得， ∴， 又∵为弦的中点，∴，即， ∴，从而直线方程为． （法二）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为， 它与椭圆的交点分别为，， 则， 得：， ∵为中点，∴，， ∴，即， 所以，直线方程为． 说明：1．法一中求中点弦的方法叫做“代点法”，该方法常用来处理中点弦问题. 2．法二用“设而不求”法求中点弦方程，充分利用了弦中点坐标和弦两端点坐标间的关系； 例2．已知椭圆，（1）求斜率为的平行弦的中点的轨迹方程； （2）过点的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点的轨迹方程. 解：（1）（法一）设弦所在直线方程为， 由消去得：， ， 即，∴， 设弦的两个端点为，，弦中点为， 则，∴， ∴弦中点坐标满足， 消去得中点轨迹方程为（）． （法二）设弦的两个端点为，，弦中点为， 则，得：， ∴，∴，即， 所以，中点轨迹方程为（椭圆内部）． （2）（法一）当的斜率不存在时，不合题意，故设直线斜率为，则方程为， 设弦两端点为，，中点为， 则把方程代入椭圆方程消去得：， 得，∴， ， ∴中点满足，消去得轨迹方程， 所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）. （法二）设弦两端点为，，中点为， ，由得， ∴， 又∵，∴， ∴，即， 所以，弦的中点的轨迹方程为（椭圆内部）. （三），课堂练习 1．已知椭圆方程为， （1）求斜率为的平行弦中点轨迹方程； （2）求以该椭圆内的点为中点的弦所在的直线方程； （3）过的弦的中点的轨迹方程. 2．过椭圆的一个焦点的直线交椭圆于、两点，是椭圆的中心，求面积的最大值. （四）．小结：“中点弦”问题的一般处理方法（“设而不求”、“代点法”）. （五）作业：