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线性方程组求解的数值方法
[摘要]:线性代数方程组的数值求解具有重要意义,不仅有些实际模型会直接提出这类问题,还有很多是由求解其他类型的问题导出的。因此正确的求解线性方程组就显得必要了。数值求解线性代数方程组的方法依其主要特点分为直接法和迭代法两大类。对于中小规模的问题直接法通常有一定的优越性,而迭代法则是一个更广阔的领域。下面将介绍三种数值算法Cramer法则、Gauss列主元消去法、Jacobi迭代法,通过举例说明各种算法的特点。
[关键词]:线性方程组,数值算法
下面将通过解这个线性方程组说明这三种数值解法
一、Cramer法则
克莱姆法则(Cramers Rule)是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。如果线性方程组的系数行列式,则这个方程组有唯一解,其解为:
其中是把D中的第j列元素换成常数项所得的行列式,
求解过程,在matlab命令窗口键入:
A=[10 -7 0;-3 2 6;5 -1 5];
d=det(A);
d1=det([7 -7 0;4 2 6;6 -1 5])
d1 =
0
d2=det([10 7 0;-3 4 6;5 6 5])
d2 =
155
d3=det([10 -7 7;-3 2 4;5 -1 6])
d3 =
-155
x1=d1/d
x1 =
0
x2=d2/d
x2 =
-1
x3=d3/d
x3 =
1
Cramer法则只适用于变量和方程数目相等且系数行列式不等于零的线性方程组,对于其他一般的线性方程组则需要更完备的算法来实现。
二、Gauss消去法
记线性方程组
为Ax=b, 其中
A=,x=, b=
记其增广矩阵为
设主元,记,用乘增广矩阵的第1行,再分别与第i行相加,得
,
其中
i,j=2,3,,n
i=2,3,,n
又设主元乘矩阵的第二行,再与第i行相加(i=3,4,,n),得
。
经过n-1步消去后,增广矩阵最终变为一个上三角矩阵。
求解过程,首先建立M文件:
function x=Gauss(a,b)
[n,m]=size(a);
nb=length(b);
det=1;
x=zeros(n,1);
for k=1:n-1
amax=0;
for i=k:n
if abs(a(i,k))amax
amax=abs(a(i,k));r=i;
end
end
if amax1e-10
return;
end
if rk
for j=k:n
z=a(k,j);a(k,j)=a(r,j);a(r,j)=z;
end
z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;det=-det;
end
for i=k+1:n
m=a(i,k)/a(k,k);
for j=k+1:n
a(i,j)=a(i,j)-m*a(k,j);
end
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
det=det*a(k,k);
end
det=det*a(n,n);
for k=n:-1:1
for j=k+1:n
b(k)=b(k)-a(k,j)*x(j);
end
x(k)=b(k)/a(k,k);
end
在matlab命令窗口键入:
a=[10,-7,0;-3,2,6;5,-1,5];
b=[7;4;6];
x=Gauss(A,b)
x =
0.0000
-1.0000
1.0000
Gauss消去法的本质是矩阵的分解,在每步用来消去其他元素的称为该步的主元素。而事实证明主元素的选择不同得到的计算结果也是不一样的,因此Gauss消去法在计算机上作为数值算法实际使用时,主元素的选取极其重要。
三、Jacobi迭代法
将线性方程组Ax=b(设)化成等价方程组:
采用迭代格式
求解过程,首先建立M文件:
function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin)
if nargin==3
eps= 1.0e-6;
M = 5;
elseif nargin3
error
return
elseif nargin ==5
M = varargin{1};
end
D=diag(diag(A)); %求A的对角矩阵
L=-tril(A,-1);
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