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2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案:第27讲三角法与向量法解平面几何题正
第八讲 三角法与向量法解平面几何题
相关知识
在中,R为外接圆半径,为内切圆半径,,则
1,正弦定理:,
2,余弦定理:,,.
3,射影定理:,,.
4,面积:
= =
.
A类例题
例1.在ΔABC中,已知b=asinC ,c=asin(900-B),试判断ΔABC的形状。
分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。
解 由条件c = asin(900 - B) = acosB =
.
ΔABC是等腰直角三角形。
例2.(1)在△ABC中,已知cosA =,sinB =,则cosC的值为( )
A. B. C. D.
解 ∵C = ? ? (A + B),∴cosC = ? cos(A + B),又∵A?(0, ?),∴sinA = ,而sinB =
显然sinA sinB ,∴A B , ∵A为锐角, ∴B必为锐角, ∴ cosB =
∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB =.选A.
说明 △ABC中,sinA sinB A B . 根据这一充要条件可判定B必为锐角。
(2)在Rt△ABC中,C=90°,A=θ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r ,
当θ为 时,的值最小。
解答 由题意,R=,r=.(其中a、b、c为Rt△ABC的三条边长,c为斜边长)∴===.
∵sin(α+)≤1,∴≥=+1.
当且仅当θ=时,的最小值为+1。
例3 在△ABC中,=,求证:B、A、C成等差数列。
分析 由于条件等式是关于三角形的边、角关系,而要证的结论只有角的关系,故应运用正弦定理将边转化为角。而B、A、C成等差数列的充要条件是A=60°,故应证A=60°。
证明 由条件得=.∵sin(A+B)=sinC,
∴sin(A-B)=sinC-sinB,∴sinB=sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB.
∵sinB≠0,∴cosA=,A=60°.∴B、A、C成等差数列。
例4 ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为,若
,求角C的大小。
解 由=cosB,故B=,A+C=.
由正弦定理有:,
又sinA=sin(-C)=,于是
sinC=cosC,tanC=1, C=。
A+C=,要求C需消去A。
说明 解本题时首先要运用正弦定理将边的关系转化为角的关系,从而得关于A、C的两个方程
链接
1.利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)己知两角和任一边,求其它两边和一角;
(2)己知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(从而进一步求出其它的边和角)。己知两边和其中一边的对角解三角形,有一解或两解。
2.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)己知三边,求三个角;
(2)己知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。
3.解斜三角形:要明确三角形的六个元素(三条边、三个内角)中己知什么,求什么。再运用三角形内角和定理、正弦定理与余弦定理解题。
4.研究三角形的边角关系和判断三角形的形状:运用三角形内角和、正弦定理与余弦定理及三角变换公式,灵活进行边角转换。
三角形中的边角关系式和三角形形状的判断证明,都可归入条件恒等式证明一类,常用到互补、互余角的三角函数关系。
情景再现
1 △ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.
2.ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列,且
(1)求的值
(2)设,求的值
3 已知A、B、C是△ABC的三个内角,y=cotA+.
若任意交换两个角的位置,y的值是否变化?试证明你的结论.(2)求y的最小值.
B类例题
例5 如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS为一水池,其余的地方种花.若BC=a,∠ABC=,设△ABC的面积为S1,正方形的面积为S2.
(1)用a,表示S1和S2;
(2)当a固定,变化时,求取最小值时的角。
解(1)
设正方形边长为,则
(2)当固定,变化时,
令 ,用导数知识可以证明:函数在是减函数,于是当时,取最小值,此时。
o说明 三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例。通过引入角度,将图形的语言转化为三角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数。三角函数的应用性问题是历年高考命题的一个冷点,但在复习中应引起足够的关注。
o
例6如图,A、B是一矩 OE
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