第二节 行列式的基本性质与计算新 线性代数教学课件.ppt

于是 证毕. 定理一. 行列式等于它的任一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和，即 行列式按行（列）展开法 或 证明: 把行列式 D 的第 i 行的每个元素按下面的方式拆成 n 个数的和, 再根据性质3, 可将 D 表示成 n 个行列式之和: 引理 证毕. 同理, 若按列证明, 可得 推论. 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证明: 不妨设 i＜ j, 考虑辅助行列式 ←第 i 行 ←第 j 行 其中第i行与第 j行对应元素相同, 又将 按第 j行展开,有 于是得 上述证法按列进行, 同理可得 证毕. 小结: 关于代数余子式的性质有: (1). (2). 或简写成: 例1. 利用定理一计算前面的例1 解: D * 返回 §2 行列式的基本性质与计算 一、行列式的基本性质 二、行列式按任一行（列）展开 定义3 设 一、行列式的基本性质 性质1. 行列式与它的转置行列式相等,即 因为 性质2. 互换两行(列),行列式改变符号. 註：由性质1可知, 行列式中行与列具有同等地位, 行列式的性质凡是对行成立的, 对列也成立, 反之亦然. 所以 註: 换行: 换列: 即 例如: 又如: 推论1. 若行列式 中某一行(列)的所有元素均为零,则 证明: 当第一行元素全为0时,即 由行列式定义知 D = 0; 若第 i 行(i＞1)的元素全为0, 即 (第 i 行) = 0. 证毕. 推论2. 若行列式D 中有两行(列)完全相同,则D=0. 证明: 将相同的两行互换,有 性质3. 若行列式中某行(列)的所有元素是两个数的和,则D可表示成两个新行列式之和.即 证明:当 i=1时，由行列式的定义知 当i1时，把第i行与第一行互换，再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和，然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可． 性质4. 行列式中某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 即 证:当i=1时，由行列式的定义知 当i1时，把第i行与第一行互换，根据上面的结论，可把第一行的公因子提到行列式外，然后再互换第一行和第i行，即得该命题． (第 j 行) 推论2 0. (第 i 行) 也就是 推论3. 若行列式 D 中有某两行(列)对应元素成比例, 则 D=0. 性质5　把行列式中某一行(列)的各元素乘以常数k 后加到另一行(列)对应的元素上去, 行列式保持不变, 即 又 注意: 註: 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算,即可把行列式化成上三角(或下三角)行列式来计算. 例1. 计算 解: D 例2. 计算 解: 从第四行开始, 后行减去前行, 得 例3. 计算n 阶行列式 解: 此行列式的特点是各行 n 个数之和均为a+(n-1)b, 故把第二列至第 n 列都加到第一列上去: 解法二(镶边法) 当a,b相等时，行列式为0,当a,b不等时 例：计算 解： 引理 一个n阶行列式，如果其中第i行(或第j列)所有元素除 外都为零，那么此行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 二、行列式按任一行(列)展开 根据行列式的定义和性质1, 我们知道行列式等于它的第一行(列)的各元素与它们对应的代数余子式的乘积之和. 事实上可以证明更一般的结论. 为此先证明以下引理. 例如 也就是: 若 则 (1). 当 位于第一行第一列的情形, 即 证明: 先证 由定义, 按第一行展开得 (2). 再证一般情形(第 i 行除 外,其它元素全为零), 此时 得 其中 得 * 返回