《数学分析》方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用.doc

《数学分析》教案 §3 方向导数和梯度、偏导数在几何上的应用 空间曲线的切线与法平面（参数方程表示，方程组表示） 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线的参数方程为 其中的参数。又设都在连续，并且对每一不全为0，这样的曲线称为光滑曲线。 向量表示：。的导数定义为 几何意义：表示通过曲线上两点P、Q的割线的方向向量，令，即点Q得通过点P时，的极限位置就是曲线在点P的切向量，即 有了切向量，就可写出曲线在任一点的切线方程： 法平面：过点可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线L在点处的法平面，其方程为： 例1 求螺旋线：，（其中为常数）在点（a，0，0）的切线方程和法平面方程。 空间曲线是用两个曲面的交线表示的，如何求切向量？ 设有一个方程组（两个曲线方程的联立），又设F、G关于x，y，z有连续的偏导数，点满足方程组： ，，并且F，G的Jacobi矩阵 在点的秩为2，不妨设 。由方程组的隐函数存在定理（P526定理3）知道，在点的某一个邻域内，由方程组可以确定唯一的一组连续可微函数，从几何上看，即曲面下和在点的近分端定了一条光滑的曲线（两曲面的交线），其方程为： ，，， 此处是参数，与该切线的切向量是其中的求法可以用上节求法（方程组确定的隐函数求导法求出） ； 求两柱面的交线在点的切线方程和法平面方程。 曲面的法向量、法线和切平面 1、的情形 若光滑曲线S的方程组，为曲面上一点，过点任做一条在曲面上的曲线，设其方程为：，，。则切平面方程：；过点并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点的法线，方程为：。 2、：， 切平面方程： 法线方程： 3、曲面方程由方程组给出： ，， 是参数，并假定Jacobi矩阵 的秩为2。 法线方程： 例3、求曲面在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例4、证明对任何常数，球面和锥面正交。 方向导数和梯度 （一）数量场 数量场：设D是中的一个区域，是定义在D内的一个实值函数，即。则称在D内有一个数量场，或称是D内的数量场。 例如：教室中每一点的温度、位置等；点电荷形成的电位切； 磁铁周围磁力的大小。 等量面（等值面）：设是D内的一个数量场，称 （C是常数）是数量场的等量面（等值面），即在S内每一点处，所对应的数值是相同的，都等于C。 特别当D是中的区域时，称S是等量线（或等值线）。 例如：天气预报中的等温面，等压面；地势图上的等的线（海报相同）。 （二）方向导数 过点引出两个模长相同的向量。 4-1=3 从数量场变化的观点看：当一个动点从出发 3-1=2 什么是方向导数？ 为方便计，在中考虑。定义设D是中的一个区域，是D内的一个数量场，，是中的一个单位向量，即如果，存在，则称此极限是数量场在点沿方向的方向导数，记为，即。也称它是函数在点沿方向的方向导数，它表示数量场在点沿方向的变化率。 方向导数存在的一个充分条件以及它的求法 定理1、设函数在点可微，则在点沿任何方向的方向导数存在，并且有 其中是方向的方向余弦。 定理1应用： 例1、设，求在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。 平面的情形（即中的情形） 设D是中的一个区域，是D内的一个二元可微函数，那么在D内每一点，沿单位向量的方向导数是，其中是轴的正向（即轴上单位向量）和向量之间的夹角。 （三）梯度 1、引言 在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 设数量场定义于某个三维区域D内，又设函数具有关于各个多元的连续偏导数，称向量 是在点的梯度，记为，即 （它是一个向量，是由数量场产生的向量）。 3、的性质： 设可微，则 （1）； （是常数） （2）； （3） （） （4） （在可微） 例2、设在空间原点处有一个点电荷，在真空中产生一个静电场，在空间任一点处的电位是： ， 则 （1）是内的一个数量场；（2） 4、的意义 总结：的方向表示数量场在分三元沿此方向的方向导数达到最大；的根长就是这个最大的方向导数。 四Taylor公式 复习：一元的情形 定理2（P173）、若在点的邻域上次可微，则对每个，记 存在使得 ——（Lcegrarg型余项），。 （P169）推论1、设存在，则 （在点的是Peano余项的Tayar展开式）。 二元函数Taylet公式 定理1、设函数在开圆盘内有关的各个阶连续偏导数。对D内任意一点，设，则