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第七章 求极值及解线性规划问题命令与例题
在一些实际问题中, 经常遇到需要知道某个已知函数(带有条件约束或不带条件约束)在哪些点取得极大值或极小值的问题,所考虑的已知函数常称为目标函数, Mathematica提供了求目标函数的局部极小值命令和线性规划(即带有线性条件约束的线性目标函数在约束范围内的极小和极大值)命令。
7.1求函数的局部极值
Mathematica只给出了求局部极小值的命令,如果要求局部极大值只要把命令中的目标函数加上负号即可,即把“目标函数”变为“-目标函数”就可以求局部极大值了。
Mathematica求函数局部极小值的一般形式为:
FindMinimum [目标函数, {自变量名1,初始值1}, {自变量名2,初始值2},…]
具体的拟合命令有:
命令形式1:FindMinimum [f[x], {x, x0}]
功能:以 x0为初值, 求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值。
命令形式2:FindMinimum [f[x], {x, { x0 , x1}}]
功能:以 x0和x1为初值,求一元函数f(x)在它们附近的局部极小值。
命令形式3:FindMinimum [f[x], {x, x0 , xmin,xmax }]
功能:以 x0为初值, 求一元函数f(x)在x0附近的局部极小值, 如果中途计算超出自变量范围[xmin,xmax], 则终止计算。
命令形式4:FindMinimum [f[x,y,...], {x, x0},{y, y0},…]
功能:以点(x0, y0,…)为初值, 求多元函数f(x,y,…)在(x0, y0,…)附近的局部极小值。
注意:1)所有命令结果显示形式为:{极小值, {自变量 - 极小值点}}
2)把上面命令中的目标函数f[…]写为 –f[…], 对应的命令就可以用来求局部极大值了,但要注意的是此时求出的结果是–f[…]的局部极小值,因此,还要把所求出的极小值前面加上负号才是所要的局部极大值。
3)命令2主要用于目标函数没有导数的情况。
4)(x0, y0,…)可以根据实际问题来猜测,对二元函数的极值还可以借助等高线图中的环绕区域得到。
例题
求函数y=3x4-5x2+x-1, 在[-2,2]的极大值、极小值和最大值、最小值。
解: 先画出函数图形,再确定求极值的初值和命令。Mathematica 命令为:
In[1]:= Plot[3x^4-5x^2+x-1,{x,-2,2}]
Out[1]=-Graphics-
从图中看到函数在-1和1附近有两个极小值点,在0附近有一个极大值点,用Mathematica 命令求之:
In[2]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,1}]
Out[2]= {-2.19701, {x - 0.858028}} (*函数在 x=0.858028取得极小值-2.19701
In[3]:=FindMinimum[3x^4-5x^2+x-1,{x,-1}]
Out[3]= {-4.01997, {x - -0.959273}} (*函数在 x=-0.959273取得极小值-4.01997
In[4]:=FindMinimum[-?(3x^4-5x^2+x-1), {x,0}]
Out[4]= {0.949693, {x - 0.101245}} (*函数在 x=0.101245取得极大值-0.949693
In[5]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x--2 (*计算函数在 x=-2的值
Out[5]=25
In[6]:= 3x^4-5x^2+x-1/.x-2 (*计算函数在 x=2的值
Out[6]=29
故所求函数在[-2,2]的x=2处取得最大值29, 在x=-0.959273处取得最小值为-4.01997。
求函数z= e2x(x+y^2+2y),在区间[-1,1]([-2,1]内的极值。
解: 本题限制了求极值的范围,为确定初值,借助等高线图Mathematica命令为
In[7]:= ContourPlot[Exp[2x]*(x+y^2+2y),{x,-1,1},{y,-2,1}, Contours-20,
ContourShading-False, PlotPoints-30]
从图中可知函数在(0.45,-1.2)可能有极值,取x0=0.45,y0= -1.1, 再用求极值命令
In[8]:= FindMinimum[Exp[2
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