高一数学函数的奇偶性教案.doc

一、教学内容： 函数的奇偶性 二、学习目标 1、通过具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，学会运用定义判断函数的奇偶性。 2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力； 3、通过学习，进一步体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的思维过程；通过函数图象的描绘及奇偶性的揭示，体会数学的对称美，和谐美。 三、知识要点 1、奇偶函数定义： （1）偶函数 一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么f（x）就叫做奇函数． 注意： ①函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。 ③由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． ④奇函数若在时有定义，则 2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称； 奇函数的图象关于原点对称． 说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。 4、判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f（－x）与f（x）的关系； 作出相应结论： 若f（－x） = f（x） 或 f（－x）－f（x） = 0，则f（x）是偶函数； 若f（－x） =－f（x） 或 f（－x）＋f（x） = 0，则f（x）是奇函数． 5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质 在公共定义域内， （1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数． （2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数． （3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． （4） 函数f （x）与同奇或同偶． 【典型例题】 一、判断函数的奇偶性 例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误 （1）因忽视定义域的特征致错 1、①；②f （x）=x2+（x+1）0 错解：①，∴ f （x）是奇函数 ②∵ f （－x）=（－x）2+（－x+1）0=x2+（x+1）0=f （x） ∴ f （x）是偶函数． 分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称． 正解：①定义域（－∞，1）∪（1，+∞）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数． ②定义域（－∞，－1）∪（－1，+∞），∴ f （x）为非奇非偶函数． （2）因缺乏变形意识或方法致错． 2、判断的奇偶性． 错解：∵ 5x－1≠0，∴ x≠0． f （x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称． ∵ ， ∴ f （－x）≠f （x），f （－x）≠－f （x）， ∴ f （x）是非奇非偶函数． 分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形． 正解：，定义域为（－∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称． ∴ f （x）是奇函数． （3） 因忽视f （x）=0致错． 3、判断函数的奇偶性． 错解：由得x=±2， ∴ f （x）的定义域为{－2，2}，关于原点对称． ， ∴ f （x）为偶函数 正解：f （x）的定义域为{－2，2}，此时，f （x）=0，∴ f （x）既是奇函数又是偶函数． 点评：函数f （x）=0 （x≠0）是f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x）=0 （x≠0）函数的定义域． （4）因分段函数意义不清致错 4、判断函数的奇偶性． 错解一：∵ f （x）=x2+x－1非奇非偶，f （x）=－x2+x+1也非奇非偶， ∴非奇非偶． 错解二：x0时，f （x）=－x2+x+1； x0时，f （x）=x2+x－1 即f （－x）=x2+x－1， ∴ f （－x）≠f （x），f （－x）≠－f （x）， ∴ f （x）为非奇非偶函数． 分析：错解一中把f（x）看成了几个函数；错解二中把x0误认为－x的情形． 正解：函数f （x）的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称． 当x0时，－x0， f （－x）=－（－x）2+（－x）+1=－x2－x+1=－（x2+x－1）=－f （x）； 当x0时，－x0． f （－x）=（－x）2+（－x）－1=x2－x－1=－（－x2+x+1）=－f （x）． ∴ x∈（－∞，0）∪（0，+∞）时，f （－x）=－f