高一数学对数与对数函数、幂函数知识精讲.doc

用心 爱心 专心 高一数学对数与对数函数、幂函数 【本讲主要内容】 对数与对数函数、幂函数 对数定义及运算性质，对数函数的定义、图象和性质，幂函数的定义、图象和性质 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 对数 （1）对数的定义： 如果，那么b叫做以a为底N的对数，记作。 （2）指数式与对数式的关系： 两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化。 （3）对数运算性质： ① ② ③ ④对数换底公式： 2. 对数函数 （1）对数函数的定义 函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。 （2）对数函数的图象 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。 （3）对数函数的性质： ①定义域：（0，+∞） ②值域：R ③过点（1，0），即当x=1时，y=0 ④当a1时，在（0，+∞）上是增函数；当0a1时，在（0，+∞）上是减函数。 3. 幂函数 （1）形如的函数叫做幂函数。 （2）幂函数的性质： ①所有幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图象都过点（1，1）。 ②如果α0，则幂函数图象过原点，并且在区间（0，+∞）上为增函数。 ③如果α0，则幂函数图象在区间（0，+∞）上是减函数。在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴。当x趋向于+∞时，图象在y轴右方无限地逼近x轴。 ④当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数。 【解题方法指导】 例1. 求值： （1）。 （2）。 （3）。 思路分析：利用对数的运算法则。 解：（1）原式 （2）原式 （3）原式 误区警示：注意法则成立的条件。 方法点拨：对数运算中常常会反用对数法则，以达到化简的目的。有时出现不同底的对数首先应化为同底的对数。 例2. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 剖析： 例3. 已知，求f(x)的值域及单调区间。 解：∵真数 ，即f(x)的值域是。 又，得 时，单调递增，从而f(x)单调递减； 时，f(x)单调递增。 特别提示：讨论复合函数的单调性要注意定义域。 【考点突破】 【考点指要】 本部分的考点为对数的运算和对数函数的性质、指数函数与对数函数互为反函数，试题多为选择题，分值5～10分。考查的基本思想方法：分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想。 【典型例题分析】 例1. （2005全国高考卷III）若，则（ ） A. abc B. cba C. cab D. bac 思路点拨：比较大小的方法有很多种，结合题目特征——对数函数，因此选用作差法，然后根据对数函数性质一一判断各差值符号。也可以使用对数的换底公式用作商法比较大小。 解法一：（作差法） ， ，即ab。 又 。即ca。 ∴cab。因此，选C。 解法二：（作商法）依题意可知a、b、c都为正数， 又 因此，选C。 例2. 若在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （0，2） D. 思路点拨：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证： ①使有意义，即a0且a≠1，。 ②使在［0，1］上是x的减函数。 由于所给函数可分解为，其中在a0时为减函数，所以必须a1； ③［0，1］必须是定义域的子集。 解：∵a为对数函数的底数， 。 又∵f(x)在［0，1］上是x的减函数， ，即 。 因此，选B。 一通百通：本题综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排除法都需要概念清楚，推理正确。本题的类型是已知函数对应法则和函数的某条性质，求未知参数的值或取值范围。也就是说题中的对应法则和性质是可以改变的。 例3. （1）（2006全国高考卷II）函数y=f(x)的图象与函数的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（ ） A. B. C. D. 答案：D （2）（2006全国高考卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线y=x对称，则（ ） A. B. C. D. 答案：D （3）（2006全国高考卷II）函数的反函数为（ ） A. B. C. D. 答案：B （4）（2006山东高考）函数（0a1）的反函数的图象大致是（ ） 答案：A 例4. 下图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线的n依次为（ ） A. B. C. D. 思路点拨：由幂函数的图象性质：a0时，在第一象限幂函数都是单调递增函数，a0时，在第一象限都是递减函数等性质，也可以利用特殊值法求解。 解法一：（数形结合法）如图