高等数学下试卷及答案.doc

2001级高等数学II（B卷） 所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效 一．（每题４分，共３２分） １．曲面在点（１，２，１）处的切面方程为　　　　　　　　　　。 ２．设函数，则　　　　　　　。 ３．设，为连续函数，则二重积分化为在极坐标下的二次积分为　　　　　　。 ４．设C是由ｘ轴、ｙ轴与直线ｘ＋ｙ＝１围成的区域的正向边界，则　　　　　。 ５．的麦克劳林级数为　　　　　，收敛区间为　　　　。 ６．已知是由所确定的隐函数，则＝　　　　　　。 ７．常微分方程的特解形式为　　　　　。 ８．已知幂级数在ｘ＝２处条件收敛，则幂级数的收敛半径为　　　　　　。 二．（８分）设二阶偏导数连续，，求。 三．（共２４分）计算下列各题 １．（７分）设D为由曲线围成的平面区域，计算二重积分。 ２．（８分）设为圆锥面，计算第一类曲面积分。 ３．（９分）设为上测，计算曲面积分。 四．（９分）求函数在条件下的极值。 五．（９分）将定义在上的函数展开成傅里叶正弦级数。 六．（１０分）判别下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。 　　１．；　　　　　　　　　　　　　２． 七．（８分）求解常微分方程初值问题 2001级高等数学II（B卷）解答 一． １．；　　２．；　３．； ４．；　　５．　　　６．；　　 ７．；　　８． 二． 三． １．原式＝ ２．原式 ３．设下测， 　　原式 　　　　 四． 　　由得，极值为 五． 　　 六． １．，级数是绝对收敛的。 ２．是发散的。因所以是条件收敛的。 七．令，则方程化为，利用条件，因此，解为。 2001级高等数学II试题(A卷) 所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效 一．（每题3分，共24分）填空题 1．已知，则＝ 。 2．函数在点处沿轴负方向的方向导数为 。 3．交换二次积分的次序得 。 4．常微分方程的通解为 。 5．幂级数的收敛区间为 。 6．已知级数，，则 。 7．设定义在上的函数的傅里叶余弦级数的和函数为,则= ， ＝ 。 8． ，其中是曲线介于到一段。 二．（6分）已知二阶偏导数连续，，求。 三．（共19分）计算下列各题 1．（6分），其中。 2．（7分），其中是由曲面和平面所围成的区域。 3．（6分），其中为从点沿抛物线到原点，再沿直线到点。 四．（7分）求曲线在点处的切线方程。 五．（7分）将函数展开成的幂级数，并指出收敛区间。 六．（8分）求常微分方程的通解。 七．（5分）判别级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛。 八．（4分）设为球面，是点的矢径方向，函数在球体二阶偏导数连续，且满足，证明 2001级高等数学II（A卷）解答 一．1. ; 2. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. 二． 三．1．原式＝ 2．原式＝ 3．。原式＝ ＝ 四．由得 五． 六．特征方程，特征值， 的特解；的特解代入方程得，通解为 七．令 ，原级数收敛，又因，原级数不是绝对收敛，条件收敛 八．由于的方向即为球面的外法向，因此左式 高等数学试题(B)： 所有题必须做在答题纸上，做在试卷纸上一律无效 填空题：（每空3分共30分） 曲线在（0，0，1）处切线的方程为_______________________。 已知,则________________________。 在点M处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为__________。 幂级数的收敛半径为_________________________。 把展开成麦克劳林（Maclaurin）级数为___________。 设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,则的傅立叶级数在处收敛于______。 微分方程的通解为______________。 更换的积分次序为___________________。 L为逆时针方向的圆周:,则______________。 斯托克斯(Stokes)公式指出了下列两类积分：_________ _____________________之间关系。格林(Green)公式指出了下列两类积分：______________________________________之间关系。 (8分)已知，f具有二阶连续偏导数，求。 (10分)求函数在区域D：上的最大值。 (10分)计算，其中D由所围。 (10分)计算积分其中的下侧。 (10分)计算积分，其中是上半球面。 (10分)求的通解。 (6分)下