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飞机机翼体积与表面积计算 200820303046 阳卿敏 一、问题叙述 利用四点控制的三次贝塞尔曲线设计机翼剖面图，提取曲线数据，绘制机翼柱面图。 1.修改程序，计算飞机机翼体积和表面积; 2.利用曲线数据绘旋转曲面图,并计算旋转体体积和表面积. 二、问题分析 三次Bezier 曲线是由平面上四个点组成控制多边形，并由此所确定的三次曲线。数学表达式为 题目中所取平面上的四点为（注意：所选取的四个点的横坐标不等距），于是可得到三次Bezier曲线的坐标参数方程 用矩阵形式的数据结构来实现算法。三次Bezier 曲线上对应于的n+1个点的坐标数据为例说明算法原理。由于三次Bezier 曲线的数学表达式可以写作矩阵形式 我们希望最后所得的曲线上n+1个点的坐标数据以(n+1)×2的矩阵形式给出，以第一列表示X坐标，以第二列表示Y的坐标。由上式 是一个4×2矩阵(它是算法的初始输入数据)，而应该是(n+1)×4矩阵。 计算机翼体积和表面积会涉及到两段Bezier曲线所围成图形（机翼横截面）的面积和周长的计算。 1.Bezier曲线与x轴所围成图形的面积和周长的计算有两种方法：一是直接求定积分，二是逐次梯形逼近分段求和。 （1）直接求定积分法： 机翼横截面半周长计算公式： 机翼横截面半面积计算公式： （2）逐次梯形逼近分段求和： 机翼横截面半周长计算公式： 机翼横截面半面积计算公式： 2.利用在x轴上间距不等的n+1个点的曲线数据，即矩阵z的第二列数据z(:,2)，使用Matlab画等间距点旋转体的[X,Y,Z]=cylinder（r）命令，抽取旋转体曲面点坐标，然后再通过命令W=z(:,1)*ones(1,21)把z轴上标准化的点坐标化为不等间距的点坐标，最后通过命令surf(X,Y,W)绘制旋转体曲面。 用直接发求旋转体的体积和表面积： （1）求旋转体的体积： （2）求旋转体的表面积： 三、实验程序及注释 1.计算飞机机翼的体积和表面积（含两种方法结果的误差比较）： clear p=[0 0;0.01 0.5;0.5 1;2 0]; %输入控制多边形顶点 n=30; t=(0:n)/n;t1=1-t; z=[t1.^3 3*t.*t1.^2 3*t1.*t.^2 t.^3]*p; %矩阵法计算曲线坐标数据 px=p(:,1);py=p(:,2); %提取控制多边形顶点坐标 x=z(:,1);y=z(:,2); %提取曲线坐标 figure(1),plot(px,py,px,py,o,x,y) %绘机翼剖面图 x=[x(n+1:-1:2);x]; %利用对称性扩充曲线坐标 y=[y(n+1:-1:2);-y]; E=ones(1,n+1);X=x*E;Y=y*E; %制做柱面坐标数据 Z=ones(2*n+1,1)*[0:n]; figure(2),surf(Z,X,Y),hold on %绘柱面 colormap([0 1 0]) %axis off fill3(n*ones(2*n+1,1),x,y,y) %填充机翼剖面 view(45,45) sd=0;f=z(:,2);a=z(:,1); for i=1:n sd=(f(i)+f(i+1))*(a(i+1)-a(i))/2+sd; %梯形法计算横截面半面积 end ld=0; for i=1:n ld=((f(i+1)-f(i))^2+(a(i+1)-a(i))^2)^(1/2)+ld; %分段线性计算横截面半周长 end fun1=inline((1+((-4.5*t.^2+1.5)./(1.59*t.^2+2.88*t+0.03)).^2).^(1/2).*(1.59*t.^2+2.88*t+0.03),t); ld0=quad(fun1,0,1); %用定积分求横截面半周长 fun2=inline((-1.5*t.^3+1.5*t).*(1.59*t.^2+2.88*t+0.03),t); sd0=quad(fun2,0,1); %用定结分求横截面半面积 s0=sd0*2+ld0*20 s