2009年上海交大GCT专业基础课数学试题.doc

1 上海交通大学软件工程硕士研究生入学考试 数学（高等数学，线性代数）试卷 2009.4 考试时间为180分钟；试卷总分为100分 准考证号码_____________________ 报考领域____________ 姓名_________ 第一大题得分 第二大题得分 第三大题得分 第四大题得分 总 分 单项选择题（共18分，每小题3分） 1. 求极限 = ( ) A． 1； B．0.5； C．； D． 2. 若函数与在实数轴上均可导，且，则必有 （ ） A．； B．； C．； D．。 3. 设是平面上的三点，则三角形ABC 的面积为（ ） A．6； B．14； C．28； D．32。 4. 设是非齐次线性方程组的两个不同的解，其中为阶矩阵，则下列选项中一定是对应的特征值的特征向量的为 ( ) A． ； B．； C．； D．。 5. 维向量线性无关的充要条件是 ( ) A．存在不全为零的数,使； B．中任意两个向量都线性无关； C．中任意一个向量都不能用其余向量线性表示； D．中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。 6. 设函数在满足，则（ ） A．是的极大值； B．是的极大值； C．是的极小值； D．是曲线的拐点。 填空题 （共18分，每小题3分） 1.=________________________________________________________________。 2. 设是任意的二阶可导函数，如果满足，则常数____________________________。 3. 二元函数沿圆周上的点的外法线方向的方向导数为零时，则的坐标为__________________________________________________________。 4. 在平面直角坐标系中，作一抛物线，使之通过三点，则该抛物线的方程为_______________________________________。 5. 如果线性方程组 无解，则_________________。 6. 幂级数的收敛区间为____________，其和函数为________________________。 计算与应用题（共50分） （要求写出解题的过程，需要画图的，要表明图中符号的意义，只写答案无分） 1. (4分）下述论证是否正确？请给出理由。若不正确，你的结论又是什么？ 因为运用L’hospitai 法则有 ，而右端的极限显然不存在，所以，左端的极限也不存在，即在时不存在极限。 2.（6分）计算二重积分，其中由直线和抛物线所围成的区域。 3.(6分)设，其3个特征向量分别为，求的全部特征值，写出矩阵的所有元素的值。 4.（6分）从半径为的圆中切去圆心角为的扇形，将余下部分做成一个圆锥体，问为多大时，该锥体的容积最大？ 5. (6分）一个半径为，密度为（1）的木质球体投入水中。试用，等参数建立关于球浸入水中部分的深度的方程。又给定，结合球的密度值的特点，并运用连续函数的性质，判断的有根区间。 6. (6分）求经过点及直线的平面的方程。 7. (8分）一个的地下仓库内的空气中二氧化碳的含量占1.12%。现用一台通风能力为每分钟1500的鼓风机通入内含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，还有一台与鼓风机同等能力的排风机在另一端抽出混合的空气。假设鼓入的新鲜空气能立即与仓库内的空气混合，10分钟后，地下仓库内的空气中二氧化碳的百分比降为多少？建立相应的微分方程并求解之。 8.（8分）用集成电路构成一个四端网络（如下图所示），两输入（）和两输出（） 分别是电流与电压量。假设这4个量的定量关系为 ，根据测量，。现将100块这样的电路串联起来，初始的安，伏。求和。 四. 综合题 （共14分) 1．（6分）有一农民老汉十分崇敬梁山泊好汉，他准备一批马匹，要送给108位好汉。他到梁山泊后见到一位好汉就送他当时所有马匹的1/4给这位好汉，而这些好汉也很有礼貌，每人接受礼物后，都回送自己的一匹马给老汉。这样，给108位好汉的礼都送完后，老汉还剩下4匹马。试用数列方法建立数学模型，求出老汉原有多少匹马？ 2. (8分）