概率的公理化定义.ppt

在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容. 即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率. 下面介绍用公理给出的概率定义. 1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义. 柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 概率的公理化定义 公理2 P(S)=1 　　　　　　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的 . 公理1 0 P(A) 1 　　　　　　　(1) 设E是随机试验，S是它的样本空间，对于S中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理: 公理2 P(S)=1 　 (2)　 公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有 　　 (3) 这里事件个数可以是有限或无限的. 公理 1 0 P(A) 1 　　(1) 公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间； 公理2说明，必然事件的概率为1； 公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和. 由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质. 在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图. 文氏图 　　　　　　　　 Ａ 设边长为1个单位 的正方形的 面积表示样本空间 S 其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件 A 把图形的面积理解为相应事件的概率　　　　 因为 1=P(S)=P(A)+P( ) Ａ Ａ 性质1　对任一事件A ，有　　　　 　　　　　　　　 (4) 性质1在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A). 性质1　对任一事件A ，有　　　　 　　　　　　　　 (4) 例1 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？ 令 事件A={至少出一次“6”点} A发生 {出1次“6”点} {出2次“6”点} {出3次“6”点} {出4次“6”点} 直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的概率. 于是 =0.518 因此 = =0.482 由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果, 而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种 例2 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率. 为求P(A), 先求P( ) 解：令 A={至少有两人同生日} ={ r 个人的生日都不同} 则 用上面的公式可以计算此事出现的概率为 =1-0.524=0.476 美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日. 即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476. 这个概率不算小，因此它的出现不值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示： 表 3.1 人数 至少有两人同