概率论与数理统计 离散型随机变量及其分布律.ppt

§2.2 离散型随机变量极其分步律 　　引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。为了便于数学推理和计算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。 在概率的研究中为什么需要引入随机变量？ X取其各个可能值xk (k＝1，2，…)的概率P{X＝xk}＝pk，称为离散型随机变量X的概率函数(概率分布或分布律)。分布率也可以用表格的形式来表示： 称为随机变量X的分布列。 1. 离散型随机变量：如果随机变量X的取值是有限个或可列无限多个，则称X为离散型随机变量。 X x1 x2 … xn … pk p1 p2 … pn … 2. 离散型随机变量的概率分布 §2.2 离散型随机变量极其分 布律 分布律性质： 例2：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以1／2的概率允许或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数(设各组信号灯的工作是相互独立的)，求X的分布律。 解 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知X的分布律为 或写成 P{X=k}=(1-p)kp, k=0,1,2,3; P{X=4}=(1-p)4 以p=1/2代入得 X 0 1 2 3 4 pk p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4 X 0 1 2 3 4 pk 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625 例3 设随机变量X的分布律为 求X的分布函数，并求P{X≤1/2},P{3/2＜X≤5/2},P{2≤X≤3}. 解 X －1 2 3 pk 1/4 1/2 1/4 F(x)的图形如下 F(x) O 1 -1 3 2 1 X 3. 常见离散型分布 　　1.退化分布 P{X=c}=1 2.（0—1）分布 X 0 1 pk 1-p p 关于（0—1）分布 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即S={e1，e2}，我们总能在S上定义一个服从(0一1)分布的随机变量 来描述这个随机试验的结果。 例如，对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，某车间的电力消耗是否超过负荷以及前面多次讨论过的“抛硬币”试验等都可以用(0—1)分布的随机变量来描述。(0一1)分布是经常遇到的一种分布。 3. 伯努利试验与二项分布 设P(A)＝p(0p1)，此时P( )＝1-p。将E独立地重复地进行n次，则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。 n重伯努利试验是一种很重要的数学模型．它有广泛的应用，是研究最多的模型之一。 ii) n重伯努利试验 i) 设试验E只有两个可能结果：A及 ，则称E为伯努利(Bernoulli)试验。 考虑n重伯努里试验中，事件A恰出现k次的概率。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，我们来求它的分布律。X所有可能取的值为o，1，2，…，n．由于各次试验是相互独立的，故在n次试验中，事件A发生k次的概率为 iii) 二项分布 从图中可以看出，对于固定的n及p，当k增加时，b(k;n,p)险随之增加并达到某极大值，以后又下降。此外，当概率p越与1/2接近时，分布越接近对称。 问题：固定n和p，当k取何值时，b(k;n,p)取最大值？ 由于对0p1, 因此 当k(n+1)p时，b(k;n,p)b(k-1;n,p) 当k(n+1)p时，b(k;n,p)b(k-1;n,p) 易知：当k=(n+1)p为整数时，最大项 b(k;