数列极限的定义.ppt

* 一、数列极限的定义 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 概念的引入 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 数列的概念 定义:如果按照某一法则,对每个 ,对应着一个确定的实数 ,这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一个序列 就叫做数列,简记为数列 . 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的 一般项. 例如 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整标函数 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察: 当n无限增大时, 无限接近于1. 数列的极限 观察数列 当 时的变化趋势. 注意： 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.ε具有任意给定性，它是描述 与 的无限接近程度. 2. N 与ε有关，且不唯一. 函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质 1、自变量趋于有限值时函数的极限 或 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ,使得当x 满足不等式0|x－x0|δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式，| f(x)－A|ε那末常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记作 注 1） 语言表述 当 时有 则 一、 函数极限的定义 2） 表示 时 有无极限 与 有无定义没有关系. 3） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 越小， 越小. 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可. 几何意义 如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ邻域(x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间。 例1 证明 (C为常数) 证 当 时, 成立, 例2 证明 证 取 当 时, 成立, 证 函数在点x=1处没有定义. 例3 证明 要使 只要取 当 时, 就有