高中线性规划基础.doc

高中线性规划基础、例析及其在数学中的地位 随州市曾都一中：彭彤彬 邮编：441300 Tel一、线性规划的基础-----二元一次不等式表示区域的结论和证明： 结论：二元一次不等式表示区域，这个个问题，课本上只给出了特例，然后由特殊到一般地总结出了结论：不等到式Ax+By+C0(或Ax+By+C0)(其中A、B不同时为零)在平面直角坐标系上表示的点集组成的图形是直线Ax+By+C=0的同侧的所有点组成的平面区域。 收集到的证明方法如下： A(x1,y1)B(x2,y2)P(x,y)y设 A(x1,y1)、B(x2,y2) 为直线l: Ax+By+C=0 异侧的两点，连结AB 交l 于C(x0,y0)点，设 A(x1,y1) B(x2,y2) P(x,y) y CAx0+By0+C=0且λ0 C 消去x0,y0解出λ得： ox∴(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0 o x 设P（x,y）为与A点同侧的任一点，则：(Ax+By+C) (Ax2+By2+C) 0， ∴(Ax+By+C)(Ax1+By1+C) (Ax2+By2+C)20 ∴（Ax+By+C）(Ax1+By1+C) 0，即Ax+By+C的符号都与(Ax1+By1+C)的值同号。 同理可得与B同侧的任何点（x,y）使得Ax+By+C的符号都与(Ax2+By2+C)同号。 故有结论： Ax+By+C0表示直线Ax+By+C=0一侧的半平面区域，而Ax+By+C0表示的是直线Ax+By+C=0另一侧的半平面区域。 二、线性规划问题――课本例4谈 题目（第63页例4）： 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 钢板类型规格类型 钢板类型 规格类型 A规格 B规格 C规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要A、B、C三种规格的成品，分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且使所用钢板张数最少。 2、解题前的准备――解释题意： 从表中可以看出：第一种钢板截A规格的数多，截B、C规格的钢板少，而第二种钢板截A规格的数少，截B、C规格的钢板越来越多。这可能吗？ 举例解释：长宽分别为240、80的钢板截长宽分别为80、120的钢板可得2块，截长宽分别为90、85的为0 张，而长宽分别为180、170的钢板截长宽分别为80、120的钢板可得2块，而截长宽分别为90、85的可得4块。如图： 80 120 120 90 85 90 85 80 240 170 180 2、解题中的思考： ①问题：一般来说，读题后，我们会如下作：设需第一种钢板X张，第二种钢板Y张，则： 2x+y=15 x+2y=18 x+3y=27 求Z=x+y的最小值。 x、y∈N 但这样作无解，无x、y∈N使其满足条件，那就更不能说去求Z=x+y的最小值了。 那这个问题该怎么样办？就无解了吗？ ②释疑： 有解——这是实际问题的答案。因为各取15+18+27=60块两种钢板时，能得到满足条件的A、B、C三种规格的钢板。不过，这时得到的A、B、C规格的钢板多了。若适当减少两种钢板的数量时，肯定能得到满足要求的三种规格的钢板，且使x+y的值最小。 ③修改解题策略：将前面从已知列出的等式改为不等式试试就可。问题变为： 求 2x+y≥15 xoyyAx+2y≥18 x o y y A x+3y≥27 时z=x+y的最小值。 x、y∈N ④正确解法： 画可行域分析得，z不在边界处取得最值。 因为边界处可能作为解的两直线的交点不是整点， 所以要再在可行域内去找接近那个交点且为整点 x又能满足条件的整点。此时可如下找： x ox+3y≥27…… eq \o\ac(○,1) o 2x+y≥15…… eq \o\ac(○,2) z=x+y………… eq \o\ac(○,3) eq \o\ac(○,3)代入 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2)解出x可得：0.5(3z-27) ≥x≥15-z,不要中间的x得到一个不等到式，解得z≥11.4。令z=12代入上面的有两个不等号的不等式中得：4.5 ≥x ≥3,因x∈N，所以x=3或4。由此可得到满足条件的两解： x=3 或 x=4 y=9 y=8。 eq \o\ac(○,5)由前面的解题过程，可以看出：本题对学生的能力要求相当高，可谓是一个难题。这提醒我们在教学中，不要马虎对待它。 三、线性规划问题的意义： 可解决许多实际问题，培养学生应用数学的意识，从而培养学生的学习兴趣，这是当