行列式按一行或一列展开及行列式的计算.ppt

§2.3 行列式按一行或一列展开及行列式的计算 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 三、小结 注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。 利用范德蒙行列式计算 　　利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。 例5　计算 解 　　上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知 　　评注　本题所给行列式各行（列）都是某元 素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙 行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如 提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行 列式化成范德蒙行列式． 例6 计算n阶三对角行列式 解: 将 按第1行展开，得 用递推法计算 即 同理： 当 时，可得 当 时，由(1)得 * * 一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 三、小结 例如 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式的乘积，即 ． 例如 证 当 位于第一行第一列时, 即有 又 从而 再证一般情形, 此时 得 得 中的余子式 故得 于是有 定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 证 推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 证 同理 相同 关于代数余子式的重要性质 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 证明 则 称为矩阵 的伴随矩阵. 故 同理可得 分块对角阵的行列式 例1 用降阶法计算 例2 计算行列式 解 例3　计算 解 评注　本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用． 证 用数学归纳法 例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 n-1阶范德蒙德行列式 * * *