高数一公式-自己的笔记.doc

第一章 极限连续 五种基本初等函数：（缺少定义域） 1．幂函数 2．指数函数 3．对数函数 4．三角函数 5．反三角函数 一、函数的极限：f(x)在x0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在x0处有无定义无关。 两个重要极限公式: 二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。 无穷小量比较：设 三、函数连续的三要素 1〉f(x)在x0处有定义；2〉时f(x)有极限；3〉极限值等于该点的函数值。 如果三要素之一不满足即为函数的间断点。 介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)≠f(b),则对于任意介于f(a)与f(b)之间的值c，必定存在一点使得f()=c。 零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)·f(b)0,则必定存在一点使f()=0。 常用来判定方程f(x)=0根的存在与根的范围。 第二章 一元函数微分学 一、导数 概念： 性质：函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是该点处的左右导数都存在且相等。 函数可导性与连续性的关系：可导必定连续，连续不一定可导。 导数定义计算方法： 基本初等函数的导数公式： 导数的四则运算法则： 反函数求导法则： 参数方程求导： 对数求导法： 二、微分 微分的充分必要条件：可导。即可导必可微。 微分中值定理： 罗尔中值定理： 罗尔中值定理几何意义：连续曲线除端点外的切线平行于X轴。 2〉拉格朗日中值定理： 拉格朗日中值定理几何意义：连续曲线除端点外有切线平行于AB弦。 洛必达法则：对于未定型极限适用 三、导数的应用 1．求切线方程： 求法线方程： 2．函数的增减性判断： 3．函数的极值：（函数导数不存在的点也可能是函数的极值点：如y=IxI在x=0时。） 1〉极值的必要条件： 极值的第一充分条件： 3〉极值的第二充分条件： 4．函数的最大、最小值： 极大(小)值是某点领域内局部性质，最大(小)值是函数在[a,b]上整体性质。 最大小值求法： 1〉求出f(x)所有(可能的极值点)驻点,导数不存在的点x1,x2….xk。 2〉求出上述各点及x=a,x=b时的函数值,进行比较其中最大的为函数[a,b]上最大值,最小为最小值。 5. 曲线的凹凸性 在区间(a,b)内曲线上点的切线位于曲线弧的下方,则称曲线(a,b)内为上凹(或凹弧),切线位于上方,则称为下凹的(或称凸弧). 连续曲线上凹与下凹的分界点称为曲线弧的拐点. 求拐点的方法:求出二阶导数等于零的点与不存在的点,判断该点两侧的二阶导数是否异号,如异号则该点为曲线弧的拐点,如同号则不是拐点. 6. 曲线的渐进线 若点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,与某条直线L之间的距离无限接近于零,则称L为曲线的渐进线。若直线L与X轴平行,则称L为曲线的水平渐近线;与X轴垂直,则称L为曲线的铅直渐近线。 渐进性的求法: 第四章 一元函数积分学 一、不定积分 原函数： 不定积分： 几何意义：平行于切线的一族积分曲线。 原函数存在原理：f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在。 性质： 不定积分基本公式： 二、求积分的方法 1．积分第一换元法 2．积分第二换元法： 解决如： 3．分部积分公式 三、定积分 几何意义：面积值。但有正负，大于0为面积，小于0为面积的负值。 定积分估值定理：如果f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M和m，则 定积分中值定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点使 牛顿=莱布尼茨公式： 定积分的对称性： 无穷区间上的广义积分： 说明：设a0,当p1时，广义积分收敛，当时，广义积分发散。 四、定积分的应用 1．求平面图形的面积 2．求旋转体体积 第四章 空间解析几何 一、平面方程 1．平面的点法式方程：过点M（x0,y0,z0）,以n={A,B,C}为法向量的平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 2．平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0 两个平面间的关系：