第十节闭区间上连续函数性质73927.ppt

* 第十节 一、最值定理 二、介值定理 闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 (证明略) 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 由定理 1 可知有 证: 设 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 若 上连续, 则 曲线 y =f (x)是连续曲线, f (a) , f (b)异号, 两端点 A (a, f (a)), B (b, f (b)) 在 x 轴 上下侧, 连接A, B 的连续曲线, 一定与 x 轴相交, 此 交点即为f (x) 的零值点. A B 几何解释: 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 不妨设A C B, 作辅助函数 则 且 由定理至少有一点 使 即 使 至少有 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 在区间 内至少有 例如. 证明方程 一个根介于1,2之间 . 证: 显然 例2 内容小结 在 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 4. 当 时, 使 必存在 上有界; 在 在 则 证明至少存在 使 提示: 令 则 易证 1. 设 一点 2 至少有一个不超过 4 的 证： 证明 令 且 根据零点定理 , 原命题得证 . 内至少存在一点 在开区间 显然 正根 . *