变化率与导数-教学.ppt

1.1.1变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V与半径r之间的函数关系是 将半径r表示为体积V的函数 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.620.16 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. h t o 请计算 h t o h(t)=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 探究: (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 平均变化率定义: 设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1) 上述问题中的变化率可用式子 表示 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 思考? 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? O A B x y Y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( ) A 、3 B、 3Δx-(Δx)2 C、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度. 2x0+Δx 练习 4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. A 1.1.2导数 瞬时速度 高台跳水 高台跳水 -13.100049 0.00001 -13.099951 -0.00001 -13.10049 0.0001 -13.009951 -0.0001 -13.1049 0.001 -13.0951 -0.001 -13.149 0.01 -13.051 -0.01 -13.59 0.1 -12.61 -0.1 Δt Δt 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变化率是 我们你它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作 或 导数的概念 由导数的定义可知，求函数 在 处的 导数的步骤: （1）求函数的增量: ； （2）求平均变化率: ； ． （3）取极限，得导数: 例1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和 例2: 　　高台跳水运动中， 秒 时运动员相 对于水面的高度是 　 （单位： 　），求运动员在 时的瞬时 速度，并解释此时的运动状态;在 呢? 同理， 　运动员在　　　时的瞬时速度为　　　　　 ， 上升 下落 这说明运动员在　　附近，正以大约　　　 的速率 。 例3、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率， 并说明它们的意义. 例3.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t 存在的函数关系 s =10 t + 5 t 2，求 （1）t = 20 ， ? t=0.1 时的? s与? s / ? t ； （2）求t = 20的速度. 作直线运动的物体，位移s 与时间 t 的函数关系 s =3 t - t 2， (1).求物体的初速度； (2).求物体在t = 2 时的瞬时速度； (3).求t = 0到t = 2时的平均速度. 练习 3.若f , (x 0)=-2，则 = . 1 4.若f , (x 0)= ，则