线性代数李建平习题答案详解复旦大学出版社.doc

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线性代数 习题一 1.2.3(答案略) 4. (1) ∵ (奇数) ∴ 为偶数 故所求为 (2) ∵ (奇数) ∴所求为397281564 5.(1)∵ (偶数) ∴项前的符号位 (正号) (2)∵ ∴ 项前的符号位 (负号) 6. (1) (2) (3)原式= 7.8(答案略) 9. ∵ ∴ 10. (1)从第2列开始,以后各列加到第一列的对应元素之上,得 (2)按第一列展开: (3) 习题二 1.2.3.4.5(答案略) 6. 设 为与可交换的矩阵,则有 即 解之得 7. (1) , 记为 ,记为 (2) 即 8(答案略) 9. 10.(1) (2) = 11. ∵ ∴ 反之 若 , 则 ,即 12. (1) 设 ∵ ∴ 又∵ ∴ 又 当 时,有 ∴ (2)设 , 则 ∵ ∴ 当 时,有 故 即 13.(1) ∵ ∴为对称矩阵 同理 也为对称矩阵 (2) ∵ ∴ 为对称矩阵 又 ∵ ∴ 为反对称矩阵 (3)∵ 由(2)知,为对称矩阵,为反对称矩阵 故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。 14. (1)必要性:∵ ∴ 充分性: ∵ ∴ (2) 必要性: ∵ ∴ 充分性:∵ ∴ (3) 必要性 :∵ ∴ 即 充分性: ∵ ∴ 15(答案略) 16. ∵ ∴ 可逆。 且 17. ∵ ∴ 可逆,且 18.(答案略) 19. ∵,若 可逆,则 ∴ 故 可逆,且 20.设 ,∵是对称矩阵 ∴ 记 ,则 ,即为对称矩阵,又∵ , ∴ 为对称矩阵。 21.(1)设 ,则 (2) ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 于是 即 (3)∵ ∴ 于是 (4) (注意加条件:可逆) ∵ 可逆 ∴ ∴ 22. ∵ ∴ 23. 24.(答案略) 25. ∵ ∴ ∴ 可逆,且 26. ∵ ∴ 又 ∵, , ∴ 27(答案略) 28. ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 故 29. ∵ ∴ ∴ 30.(答案略) 31.(1) (2) 32. 33. (1) ∵ ∴ (2) ∵ ∴ 习题三 1.2.3.4(答案略) 5. ∵ 不能由线性表示 ∴线性方程组 无解 不妨假设 能由线性表示,则存在一组数,使 从而 此式与方程组无解矛盾。 故 不能由的任何部分组线性表示 6. 依题意 所以 即 7. ∵ ∴ 令 ∵ ∴ 可逆,于是 即 8.(答案略) 9.当 即当 或时,线性相关 否则 线性无关。 10 .(1)设 则 ∴ 即 故 线性无关。 (2)设 则 ∵ 线性无关 ∴ 解之得 11. 一方面,向量组能由基本单位向量组 线性表示; 另一方面,基本单位向量组由向量组线性表示为 ∴ 向量组 与向量组等价。 12. 一方面 可由向量组线性表示;另一方面由于与有相同的秩,所以 就是向量组的一个极大无关组, 从而可以由线性表示. 故 13.设是向量组中任意一个向量 ∵可由线性表示 又 ,∴ 线性无关 ∴是的一个极大无关组。 14. ∵ 可由 线性表示,而也可由线性表示 ∴ 从而 故 线性无关。 15.必要性:∵是一组维向量,若线性无关,显然任意维向量都可由线性表示。 充分性:∵ 任意维向量都可以由线性表示,∴基本单位向量组可由线性表示,故 ∴ 从而线性无关。 习题四 1.2.3.4.5.6(答案略) 7. 设 ,由 得 即 可见,是方程组的两个解 又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是,问题就转化为求解方程组 ∵

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