线性代数李建平习题答案详解复旦大学出版社.doc

线性代数 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (奇数) ∴ 为偶数 故所求为 (2) ∵ （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵ (偶数) ∴项前的符号位 （正号） （2）∵ ∴ 项前的符号位 （负号） 6. (1) （2） （3）原式= 7.8（答案略） 9. ∵ ∴ 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 （2）按第一列展开： （3） 习题二 1.2.3.4.5（答案略） 6. 设 为与可交换的矩阵，则有 即 解之得 7. （1） ， 记为 ，记为 （2） 即 8（答案略） 9. 10.（1） (2) = 11. ∵ ∴ 反之 若 , 则 ,即 12. (1) 设 ∵ ∴ 又∵ ∴ 又 当 时，有 ∴ （2）设 ， 则 ∵ ∴ 当 时，有 故 即 13.(1) ∵ ∴为对称矩阵 同理 也为对称矩阵 （2） ∵ ∴ 为对称矩阵 又 ∵ ∴ 为反对称矩阵 （3）∵ 由（2）知，为对称矩阵，为反对称矩阵 故 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。 14. （1）必要性：∵ ∴ 充分性： ∵ ∴ (2) 必要性： ∵ ∴ 充分性：∵ ∴ (3) 必要性 ：∵ ∴ 即 充分性： ∵ ∴ 15（答案略） 16. ∵ ∴ 可逆。 且 17. ∵ ∴ 可逆，且 18.（答案略） 19. ∵,若 可逆，则 ∴ 故 可逆，且 20.设 ，∵是对称矩阵 ∴ 记 ，则 ，即为对称矩阵，又∵ , ∴ 为对称矩阵。 21.（1）设 ，则 （2） ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 于是 即 (3)∵ ∴ 于是 (4) (注意加条件：可逆) ∵ 可逆 ∴ ∴ 22. ∵ ∴ 23. 24.（答案略） 25. ∵ ∴ ∴ 可逆，且 26. ∵ ∴ 又 ∵, , ∴ 27（答案略） 28. ∵ ∴ 又 ∵ ∴ 故 29. ∵ ∴ ∴ 30.（答案略） 31.（1） (2) 32. 33. (1) ∵ ∴ (2) ∵ ∴ 习题三 1.2.3.4（答案略） 5. ∵ 不能由线性表示 ∴线性方程组 无解 不妨假设 能由线性表示，则存在一组数，使 从而 此式与方程组无解矛盾。 故 不能由的任何部分组线性表示 6. 依题意 所以 即 7. ∵ ∴ 令 ∵ ∴ 可逆，于是 即 8．（答案略） 9.当 即当 或时，线性相关 否则 线性无关。 10 .（1）设 则 ∴ 即 故 线性无关。 （2）设 则 ∵ 线性无关 ∴ 解之得 11. 一方面，向量组能由基本单位向量组 线性表示； 另一方面，基本单位向量组由向量组线性表示为 ∴ 向量组 与向量组等价。 12. 一方面 可由向量组线性表示；另一方面由于与有相同的秩，所以 就是向量组的一个极大无关组， 从而可以由线性表示. 故 13.设是向量组中任意一个向量 ∵可由线性表示 又 ，∴ 线性无关 ∴是的一个极大无关组。 14. ∵ 可由 线性表示，而也可由线性表示 ∴ 从而 故 线性无关。 15.必要性：∵是一组维向量，若线性无关，显然任意维向量都可由线性表示。 充分性：∵ 任意维向量都可以由线性表示，∴基本单位向量组可由线性表示，故 ∴ 从而线性无关。 习题四 1.2.3.4.5.6(答案略) 7. 设 ，由 得 即 可见，是方程组的两个解 又 ∵ ∴是方程组的两个线性无关的解。 于是，问题就转化为求解方程组 ∵