第十节闭区间上续函数的性质76282.ppt

一、最值定理 长春工业大学 高等数学 第十节闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 推论. 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 定理3. ( 介值定理 ) 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 推论: 使 至少有 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 例1. 证明方程 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则