高考数学复习：高考导数应用大盘点.doc

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 6 页 高考导数应用大盘点 　　高考对导数部分的要求一般有三个层次：第一个层次是导数的概念，求导的公式和求导的法则；第二个层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；第三个层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性的内容等有机地结合在一起，设计综合试题 　　本文精选高考中的相关试题，进行分类导析，供老师、同学们复习参考． 　　1．考查导函数的图象及其性质． 　　例1　（江西卷）已知函数的图象如图１所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（　）． 　　分析与解：由图1得，从而导出是函数的极值点是解本题的关键．由是函数的极值点，又在上，；在上， ，因此在上，单调递减，故选（C）． 　　点评：要注意，若是函数的极值点，则有，但若，则不一定是函数的极值点．要判断一个点是否为极值点，还要检验点两侧的单调性是否不同． 　　2．与函数交汇，考查导数的概念和计算． 　　例2　（全国卷Ⅱ）已知 ，函数． 　　（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论； 　　（2）设在上是单调函数，求的取值范围． 　　分析与解：（1）对函数求导数，得． 　　令，得． 　　解得，，其中． 　　当变化时，，的值变化如下表 极大值 极小值 　　∴在处取得极大值，在处取得极小值． 　　∵，，，在上为减函数，在上为增函数． 　　而当时，；当时，． 　　所以当时，取得最小值． 　　（2）当时，在上为单调函数的充要条件是，即，解得． 　　于是在上为单调函数的充要条件是，即的取值范围是． 　　3．与解析几何交汇，考查导数的几何意义———切线的斜率． 　　例3　（福建卷）如图2，是抛物线上一点，直线过点并与抛物线在点的切线垂直，与抛物线相交于另一点． 　　（1）当点的横坐标为2时，求直线的方程； 　　（2）当点在抛物线上移动时，求线段中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离． 　　分析与解：用导数求出直线的斜率，再用求轨迹的基本方法展开，注意直线、曲线的弦中点问题“设而不求法”及求最值时的“重要不等式”的灵活使用． 　　（1）把代入，得． 　　∴点坐标为． 　　由，得， 　　∴过点的切线的斜率， 　　直线的斜率． 　　∴直线的方程为，即． 　　（2）设，则． 　　∵过点的切线斜率，当时不合题意， 　　∴ ． 　　∴直线的斜率， 　　直线的方程为．　　① 　　设，， 　　则由，，． 　　∴． 　　∴．∴， 　　将上式代入①并整理，得就是所求的轨迹方程． 　　由知，∴． 　　仅当，即时取等号，所以点到轴的最短距离是． 　　4．与函数、不等式交汇，考查导数的运算和性质． 　　例4　（天津卷）已知函数是上的奇函数，当时，取得极值． 　　（1）求的单调区间和极大值； 　　（2）证明对任意，，不等式恒成立． 　　分析与解：从函数的性质及导数与函数极值的关系着手． 　　（1）由题意，，得． 　　由，在处取得极值，必有， 　　故．① 　　由，得．② 　　联立①②，得，．因此． 　　求出后，经判断知在和上是增函数，在上是减函数．其极大值为． 　　（2）由（1）知，在上是减函数，且在上的最大值，最小值，所以，对任意，，恒有． 　　5．与实际问题结合，考查导数的物理意义———瞬时速度． 　　例5　（湖北卷）某日中午12时整，甲船自处以的速度向正东行驶，乙船自的正北处以的速度向正南行驶，则当日12时30分时两船之间距离对时间的变化率是______． 　　分析与解：以点为原点，正东、正北方向所在的直线分别为轴，轴建立如图3所示的直角坐标系，时刻甲位于处，乙位于处，则两地间距离，，　　又12时30分时，， 　　则． 　　点评：此题不仅考查了方位角的概念、画图、识图的能力及列方程解应用题的思想，更重要的是考查了学生对导数的物理意义及导数定义的理解，特别是不同的方向设计，使得变化率是一个负值．这要求考生能将物理知识与数学知识相结合（意在考查学科交叉能力）， 要求考生能熟练运用复合函数的求导法则． 　　友情提醒：①若对的关系式化简展开后求导数，则运算较繁；②由于不能真正理解距离对时间的导数是瞬时速度，而速度是一个向量，许多考生在求出对应的变化率是一个负值后，给出答案时竟然特意将其中的负号舍去，以致痛失4分，实为可惜！ 　　6．与实际问题结合，考查导数的运算和性质． 　　例6　（全国卷Ⅲ）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图４），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少? 分析与解：设容器的高为，容器的体积为， 则， 　　∵， 　　由，解得，（舍去）． 　　∵当时，，当时，，所以