第77讲 直线与圆锥曲线的位置关系.ppt

课件制作 16：03 所以|MN|= ·|x1-x2|=4 . 又点A到直线l的距离为d= , 所以S△AMN= |MN|·d=2·(5+m)· , 从而S△AMN2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)·(5+m)(5+m) ≤2·( )3=128. 故S△AMN≤８ ，当且仅当2-2m=5+m，即m=-1时取等号. 故直线l的方程为y=x-1,△AMN的最大面积为8 . 例3 题型三 直线与圆锥曲相交时的中点弦问题 过点(1,0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为 的椭圆C相交于A、B两点，直线y= x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程. (方法一)由e= = ,得 = , 从而a2=2b2,c=b. 设椭圆的方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上. 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得， (x12-x22)+2(y12-y22)=0, 即 =- . 设线段AB的中点为(x0,y0)，则kAB=- . 又(x0,y0)在直线y= x上，所以y0= x0， 于是- =-1,故kAB=-1, 所以直线l的方程为y=-x+1. 设右焦点(b,0)关于直线l的对称点为(x′,y′), =1 x′=1 y′=1-b. 由点(1,1-b)在椭圆上， 得1+2(1-b)2=2b2,则b2= ,故a2= . 所以所求椭圆C的方程为 =1,直线l的方程为y=-x+1. 则 ,解得 (方法二)由e= = ，得 = , 从而a2=2b2,c=b. 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,直线l的方程为y=k(x-1). 将直线l的方程代入椭圆C的方程， 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2b2=0, 则x1+x2= ,故y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1) =k(x1+x2)-2k=- . 直线l:y= x过线段AB的中点( , ), 则 = ,解得k=0或k=-1. 若k=0,则直线l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不可能在椭圆C上，所以k=0舍去， 从而k=-1，故直线l的方程为y=-(x-1),即y=-x+1,以下同方法一. 由题设情境中点在直线y= x上，联想“点差法”，从而应用点差法及点在直线y= x上而求得直线l的方程，进一步应用对称的几何性质求得“对称点”，利用“对称点”在椭圆上求得椭圆方程，同时应注意，涉及弦的中点与弦的斜率问题常常可应用“点差法”求解. 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程. (方法一)设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y12=8x1,y22=8x2， 两式相减，得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2). 又y1+y2=2，则k= = =4， 所以AB的方程为y-1=4(x-4)，即4x-y-15=0. 由Q（4，1）与抛物线位置可知，4x-y-15=0为所求直线方程. (方法二)由题设可知,直线AB的斜率必存在,且k≠0,设AB所在直线方程为y=k(x-4)+1(k≠0). y=k(x-4)+1 y2=8x，消去x整理，得ky2-8y-32k+8=0, Δ=64+128k2-32k=32(4k2-k+2)0. 设A(x1,y1)，B(x2，y2)，则y1+y2= . 又Q是AB的中点 ,=1,所以 =2,由此,k=4. 所以弦AB所在直线的方程为4x-y-15=0. 由 已知双曲线C:x2-