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T2 中国麻将中的数学问题 七院一队：韩翔 罗皓飞 高欣飞 编号：7503 摘 要 麻将起源于中国，它不仅具有独特的游戏特点，而且具有集益智性、趣味性、博弈性于一体的运魅力及内涵丰富、底蕴悠长的东方文化特征，成为中国传统文化宝库中的一个重要组成部分。越来越多的研究表明：麻将里面蕴藏着历史的、哲学的、数理的、心理的、逻辑学的、医学的等各门类的知识和秘密。 这里通过麻将规则中的番值、各种牌型的分析来计算，各种番值糊到的概率大小而分析番值种类的合理性和规律，并结合国家体育中心关于麻将比赛番值分布统计结果，此处建立一般的计算概率的模型，做出部分合理的必须的假设，计算出各种牌型出现的概率，模型能反映出概率的变化并利用既得概率，相比较分析出相应的比值，以及牌型规定番值的比，看两者是否成线性比，来看番值规定的合理性与规律，通过对模型的处理可得到大致的规律为：牌型发生的概率越小，其番值越大。并且呈一定的线性比，但番值规定存在一定的不足不能很好的反映牌型发生的可能性大小。 一、问题重述 麻将取胜得到的番值越大，概率就越小，试分别计算表中各种情况的概率。 二、假设 1.比赛相对公平公正，参加人员水平相当，水平发挥正常，无意外情况发生； 2.打牌、摸牌均是随机事件，且打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的； 3.不使用字牌中的花牌； 4.手中的牌与所有的牌性质一样，但因为手中的牌是人通过主观推断而留下来的牌，则其更有利，即更容易组成对子、顺子、刻子，其比随机事件更好。即手中的牌有用率比打出的牌或未摸完的牌服从线性比，设其为P； 5.手中的牌能够成为刻子、顺子、对子等的概率与整副牌随机组成刻子、顺子、对子的概率成正比； 6.各种可能的糊牌牌型是等可能的。 三、符号说明 代表番值 对应番值的概率 四、问题分析 先初步估计，估计可能会有个别特殊例子。模型中糊的番数越大则其相应的的概率越小，通过模型算出各番种的概率，比较各番种概率的比值，从而对番种分值确定的合理性做出判断，找出确定分值的误差。可以根据找出的不同番种的概率分析出其中的规律，与第六项番种分值确定的规律比对，得出正确规律。 五、模型的建立与求解 建立一般求解概率模型 因为人手中必须有53张牌才能糊，即糊的一家14张牌其余三家各13张牌，共有种组合。 大三元： 对于大三元，因为其牌型规定必须有“中发白”三副刻子，所以至少有“中发白”个三张，故至少有九张牌确定。 其组合种数有种。 由假设，打出的牌样与未摸的牌样均是等可能出现的，因为要糊大三元所以“中发白”三副刻子必须在一家人手里。而这三副刻子在一家人手里的概率为，对于其余的44张牌，有种组合。 糊大三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111 对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为。 由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为=，=，=。 由以上分析知，有“中发白”三副刻子在一家人手里的概率为，对于两种可能的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。 对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为。 可得：大三元牌型的概率为由附件可知出现频数为6310016实际频数：3279519232。 小四喜 因为和牌时有风牌的3副刻子及将牌，所以对风牌的这三副刻子的排列数有种。确定了这9张牌之后人手中还剩44张牌，这44张牌的排列组合数为。 糊小四喜的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111 对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为。 由假设4可得，人手中的牌组成以上各分析情况的概率为=，=，=。 由以上分析知，有风牌的三副刻子在一家人手里的概率为，对于两种可能的糊牌牌型，其概率为等可能的，即1/3。 对于牌型⑴将牌和顺子，其概率为； 对于牌型⑵将牌和刻子，其概率为。 可得：小四喜牌型的概率为 小三元 因为和牌时有箭牌的2副刻子及将牌，所以对将牌的这三副刻子的排列数有种。确定了这6张牌之后人手中还剩47张牌，这47张牌的排列组合数为。 糊小三元的牌型可以为：⑴11、123、111、111、111 ⑵11、111、111、111、111 (3)11、123、123、111、111 对顺子123分析由假设5可知其随机组成顺子的概率为； 对刻子111分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为； 对刻子111分析，为风牌、箭牌的概率为； 对将牌11分析，为万子牌、饼子牌、条子牌的概率为。 对将牌1