7.两点间的距离公式.doc

____________________________________________________________________________________________ 第 PAGE 6 页 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.2两点间的距离 【教材导读】 一、情景导入 已知平面上点A（1,3），你能求出A点与原点之间的距离吗？若已知平面上任意两点的坐标，又该如何求得这两点之间的距离？ 二、教材导读 1.两点间距离公式的推导 已知平面上点A（1,3），在平面直角坐标系中建立直角三角形， 由勾股定理可求得A点与原点O之间的距离： 那么已知平面上任意两点，，是否能用相同方法求得的距离呢？ 阅读教材P104内容，掌握应用几何方法推导出两点间距离公式的过程. 2.两点间的距离公式 平面上两点，间的距离公式： 由公式可知，原点与任一点的距离； 3.在《平面向量》一章中我们通过向量的模也得到了两点间的距离公式：平面上两点，，则： （1） （2） 注意比较两种情形下推证方法. 4. 沙尔定理:设A、B是轴上任意一条有向线段，O是原点，OA=，OB=，那么有： 于是 显然，在直角坐标系内，与坐标轴平行的直线上的有向线段也符合沙尔定理. 由此我们理解两点间距离公式的特例： （1）当轴时，， ； （2）当轴时，， . 请完成自主评价1 【课堂点金】 一、重难点突破 熟悉两点间距离公式 例1．在直线上求一点，使它到点的距离为５，并求直线的方程. 【解析】利用两点间的距离公式建立关系. ∵ 点在直线上， ∴ 可设， 根据两点的距离公式得： 　 即 解得，∴． 　∴直线PM的方程为 ， 即 【评析】通过运算熟练掌握两点间距离公式. 【变式1】求与A（32，10），B（42，0），C（0，0）等距离点的坐标. 【解析】 2.两点间距离公式的应用 例2.以点A（1，3），B（－2，8），C（7，5）为顶点的ABC是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【解析】方法一（综合法）：根据两点的距离公式及余弦定理可以判断三角形的形状. 只需判断最大角，由余弦定理，： ∴ 为钝角. 故ABC为钝角三角形，选C. 方法二（向量法）：由题意： ,故 为钝角, ABC为钝角三角形，选C. 【变式2】已知两点 ， 求的最大值. 【解析】 例3．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –1)，求边AB, AC所在的直线方程. 【解析】从确定直线AB, AC 的条件入手，直线AC满足:经过点A且垂直于直线2x+y–6=0,直线AB满足:经过点A且与直线2x+y–6=0成角，（或|AB|等于点A到直线2x+y–6=0的距离的倍） 解法1（从距离入手）AC垂直于直线2x+y–6=0，设直线AC的方程为x-2y+c=0, 把A(1, –1)代入得c=-3, 故直线AC的方程为x-2y-3=0, ，设B(x,y),则， 解得或，所以直线AB的方程为或 解法2（从角度入手）: 直线AC的斜率为，由点斜式并化简得，直线AC的方程为x-2y-3=0. 考虑直线AB, AC的夹角为，设直线AB, AC的方向向量分别为 则，解得或，所以直线AB的方程为或 【评析】求直线方程的一般步骤:(1)寻找所求直线的满足的两个条件；(2)将条件转化,使转化后的条件更利于列出方程组；(3)列方程组求解. 【变式3】过点P（2，1）作直线l分别交x,y轴于A,B两点，求|PA||·|PB|取得最小值时直线l的方程. 【解析】 【评析】设直线方程要从条件和结论两方面考虑，为更好表示|PA||·|PB|和|OA||·|OB|,本题用点斜式设出方程或用设倾斜角的补角最简便. 二、教材挖掘 1.利用向量的模推导两点间的距离公式： 若向量，则. 若已知平面上两点，，则向量， 即：平面上两点，的距离公式为 . 【例3】在平面直角坐标系中，已知点，求以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长. 【解析】方法一: 由题设知，则 ∴ 故所求的两条对角线的长分别为、. 方法二:设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则: E为B、C的中点，E（0，1） 又E（0，1）为A、D的中点， 所以D（1，4）. 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=. 【评析】体会向量是解决几何问题的一种工具，使用向量解决问题有时能使问题简单化. 2.坐标法 教材P105例4揭示了解析几何最基本的方法——坐标法（或称解析法），即将几何问题转化为坐标