合肥工业大学现代控制理论课件第二章 线性控制系统的运动分析.ppt

3） 传递性 4） 2.4.3 状态转移矩阵 的计算 用级数近似法计算 计算系统状态转移矩阵 例2-9 线性时变系统齐次状态方程为 （35） 解 将 代入（35）式 其中 2.4.4 线性时变系统非线性齐次状态方程的解 （38） （39） 其解为 证明 [将（39）式代入状态方程（38）式，等式成立] （40） 或 2.4.5 系统的输出 （41） （42） 或 2.5 线性系统的脉冲响应矩阵 2.5.1 线性时变系统的脉冲响应矩阵 假设系统初始条件为零， 输入为单位脉冲函数，即 其中，τ为加入单位脉冲的时刻。而 第i 个分量 就表示在 时刻，仅在第i个输入端施加一个单位脉冲。系统的输出为： ? （43） 为m维向量，它表示系统输出 对输入 的第i个元素在τ时刻加入单位脉冲时的响应。 将 ， 按次序排列，则 （44） 线性时变系统脉冲响应矩阵 ≥ （45） 2.5.2 线性定常系统的脉冲响应矩阵 ≥ 脉冲响应矩阵为 （46） 如果单位脉冲出现在τ= 0 的时刻，则脉冲响应矩阵为 ≥ （47） 2.5.3 传递函数矩阵与脉冲响应矩阵之间的关系 对（47）式求拉普拉斯变换 L 而 （48） 上式可改写成 （49） 如果 存在，则 （50） 将（50）式代入（48），得到 （51） （52） 当D = 0 时 可见，线性定常系统在初始松弛情况下脉冲响应矩阵的拉普拉斯变换就是系统传递函数矩阵。 2.5.4 利用脉冲响应矩阵计算系统的输出 如果输入向量表示为 （53） 将（53）式代入（28）式 （54） 当系统初始状态为零时 （55） 2.6 线性连续系统方程的离散化 作以下假定： 1）被控对象上有采样开关； 2）采样周期为T，满足香农采样定理要求，包含连续信号全部信息； 3）具有零阶保持器。 2.6.1 线性时变系统 （56） 初始状态为 状态方程的解为 （57） * * 第2章 线性控制系统的运动分析 本章是通过求解系统方程的解来研究系统性能的。由于系统的状态方程是矩阵微分方程，而输出方程是矩阵代数方程。因此，只要求出状态方程的解，就很容易得到系统的输出，进而研究系统的性能。 本章内容为 1 线性定常系统齐次状态方程的解 2 状态转移矩阵 3 线性定常系统非齐次状态方程的解 4 线性时变系统的运动分析 5 线性系统的脉冲响应矩阵 8 用MATLAB求解系统方程 6 线性连续系统方程的离散化 7 线性离散系统的运动分析 2.1 线性定常系统齐次状态方程的解 线性定常系统齐次状态方程为 （1） （2） 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法 假设其解为一幂级数 （3） 将（3）式代入（2）式 这时系统的输入为零 等式两边t 的同次幂的系数相等，因此有 而 因为 则解为 （4） 模仿标量齐次微分方程的解法，假设线性定常系统齐次状态方程（1）的解为 （5） 将（5）式代入（1）式 等式两边t 同次幂的系数相等，因此有 而 记作 则线性定常系统齐次状态方程（1）的解为 （6） 则 （7） 如果 则 （8） 将（8）式代入（1）式验证 和 矩阵指数函数 又称为状态转移矩阵，记作 由于系统没有输入向量， 是由初始状态 激励的。因此，这 时的运动称为自由运动。 的形态由 决定，即是由矩阵A 惟一决定的。 2.2 状态转移矩阵 线性定常系统齐次状态方程的解为 或 其几何意义是：系统从初始状态 开始，随着时间的推移，由 转移到 ，再由 转移到 ，…… 。 的形态完全由 决定。 2.2.1 状态转移矩阵的基本性质 1） 即 2） 即 3）可逆性 即 4）传递性 即 5）当且仅当 时，有 如果 时，则 2.2.2 状态转移矩阵的求法 方法1 根据定义，计算 方法2 应用拉普拉斯变换法，计算 对上式求拉普拉斯变换，得 如果 为非奇异 （9） L L （10） 由微分方程解的唯一性 L 例2-2 线性定常系统的齐次状态方程为 求其状态转移矩阵 解 于是 L 方法3