河南理工大学自动控制原理课件 绘制规则.ppt

4.2 绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依据 在上节已指出，根轨法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出闭环极点。由例4-1可看出，根轨迹是系统的开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程为 综上分析，可以得到如下结论： ⑴ 绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。即在s平面上，所有满足相角条件点的集合构成系统的根轨迹。即绘制根轨迹只需要相角条件。 ⑵ 绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环极点在s平面上的位置。 ⑶ 在系数参数全部确定的情况下，凡能满足相角条件和幅值条件的s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。 ⑷ 由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传递函数有关（相角条件和幅值条件由开环传函推导而来），因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。 用弧度表示的相角条件为： 二、绘制根轨迹的基本规则 通常，我们把以开环根轨迹增益 为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有7条： 根轨迹的起始点与终止点； 根轨迹的分支数和对称性； 实轴上的根轨迹； 根轨迹的渐近线； 根轨迹在实轴上的分离点和分离点； 根轨迹的起始角和终止角； 根轨迹与虚轴的交点。 规则一 根轨迹的起点和终点 幅值条件可写成 当 ，必须有 此时，系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，我们把开环极点称为根轨迹的起点，它对应于开环根轨迹增益 。 当 时，必须有 ，此时，系统的闭环极点与开环零点相同(重合)，我们把开环零点称为根轨迹的终点，它对应于开环根轨迹增益 。 下面分三种情况讨沦。 1．当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均为有限的值。 2．当mn时，即开环零点数小于开环极点数时，除有m条根轨迹终止于开环零点(称为有限零点)外，还有n-m条根轨迹终止于无穷远点(称为无限零点),如例4-1。 3．当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。 结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点（ )；如果开环极点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。 规则二 根轨迹的分支数、连续性和对称性 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在S平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。 由例4-1看出，系统开环根轨迹增益 (实变量）与复变量s有一一对应的关系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n条连续的曲线。 由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。 结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。 例4-3 设系统的开环传递函数为 其中 、 、 、 、 为实极点和实零点， 为共轭复数零、极点，它们在s平面上的分布如图4-4所示，试分析实轴上的根轨迹与开环零点和极点的关系。 实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即 规则三 实轴上的根轨迹 若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。 图4-4 实轴上的根轨迹 规则四 渐近线