杭州电子科技大学自动控制原理课件第四章 根轨迹法.ppt

第四章 根轨迹法 引言 4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 Matlab绘制根轨迹 引言 什么是线性系统的根轨迹？ 所谓根轨迹，是指当开环系统的某个参数（如开环增益K）由零连续变化到无穷大时，闭环特征根（闭环极点）在复平面上形成的若干条曲线。 研究线性系统根轨迹的原因 ① 一个控制系统的全部性质都取决于其闭环传递函数：稳定性由闭环极点唯一地确定；稳态精度取决于其比例系数；动态特性由闭环极点、闭环零点共同决定。 因此，在分析研究控制系统的性能时，确定闭环极点、闭环零点在复平面上的位置就显得特别重要。 ②闭环零点与开环零、极点有关，闭环和开环比例系数之间也有简单的关系，都不难确定。唯有闭环极点的确定比较麻烦。 ③欲知闭环极点在复平面上的位置，就要求解系统特征方程，当特征方程阶次较高时，计算相当麻烦。 ④研究系统参数变化对闭环极点位置的影响，对分析、设计控制系统是很有意义的。 根轨迹法 一种求取闭环系统的特征根的图解法（1948年，由W. R. Evans在“控制系统的图解分析”一文中提出）。 已知开环零极点分布，研究一个或几个参数变化对闭环极点位置的影响，从而进一步分析系统的性能（如稳定性、动态性能、稳态性能等）。 以前控制系统根轨迹绘制很麻烦，现在使用MATLAB非常方便。 4.1 根轨迹的基本概念 1、根轨迹的基本概念 (1) 将图4-1所示系统的开环传递函数转化为 上式便是绘制根轨迹所用的开环传递函数的标准形式——零极点增益形式。 (2) 将两个开环极点p1=0和p2=-2绘于复平面上，并用“×”表示。 (3) 求出闭环系统的特征方程和闭环极点 (4).闭环系统极点与标准化参数之间的关系可由图4-2表示 从图中可以看出 当k=0时，p1、p2与s1、s2重合，即开环极点和闭环极点重合; 当0k1时，s1、s2均为区间(-2,0)内的负实数； 当k=1时， s1＝s2=-1 ，即两闭环极点重合 当 时， ，即两闭环极点互为共轭; 当 时，将沿着直线 趋于无穷远处. 讨论: 由根轨迹图4-2可分析系统的性能 稳定性——无论K取何值，由图4-1表示的控制系统的闭环极点均位于复平面的左半平面，因此系统是闭环稳定的； 动态性能——k=1（K=0.5）是此二阶系统由过阻尼状态过渡到欠阻尼状态的分界点，不同的阻尼状态对应的系统动态特性有明显差别； 稳态性能——系统属于I型系统，K即为静态速度误差速度系数。如果给定稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允许范围。 根轨迹是连续且对称于实轴的，这也是根轨迹的一个特性； 绘制根轨迹时选择的可变参数可以是系统的任何参量，但最常用的是系统的开环增益——常规根轨迹。 2、闭环零、极点与开环零、极点间的关系 4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则 绘制根轨迹的基本条件 绘制根轨迹，需要从系统的闭环特征方程入手。设负反馈系统的开环传递函数为G(s)H(s)，其中G(s)和H(s)分别为控制系统的前向通道传递函数和反馈通道传递函数，则闭环系统的特征方程为 将上式改写成 绘制根轨迹所依据的条件是 幅值条件 相角条件 几点说明： 实际上满足相角条件的任一点，一定可以找到相应的可变参数值，使幅值条件成立。 相角条件也是根轨迹的充要条件。 利用相角条件可确定根轨迹的形状，但利用幅值条件才可求得给定闭环极点所对应的增益K。 进行相角计算时，规定正实轴方向为0°，逆时针方向为相角的正方向。 相角条件说明：Σ(由各开环零点指向轨迹点的方向角) – Σ(由各极点指向轨迹点的方向角) = 指向正左方。 绘制根轨迹的一般规则 绘制系统的根轨迹，首先写出系统的特征方程 然后将此方程中开环传递函数部分改写为零极点增益形式，即特征方程可等价为 上式为绘制根轨迹的标准形式。 规则一 根轨迹各条分支是连续、关于实轴对称 特征方程中的某些系数是连续变化参数K的函数，这些系数也是连续变化的。 系统的特征方程为代数方程，代数方程中的系数连续变化时，代数方程的根也连续变化，所以特征方程的根轨迹是连续的。 由于闭环极点或为实数或为共轭复数，所以根轨迹是对称于实轴的。 仅需先画出S平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部由镜象求得。 规则二 根轨迹的起点、终点和分支数 系统的根轨迹起点为开环极点，终点为开环零点（或无穷远处）。 由于系统的特征方程有n个根，所以当可变参数K由零变化到无穷时，这n个特征根必然会随K的变化出现n条根轨迹。 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数，也就是说，根轨迹的分支数等于闭环