国防科技大学机电工程与自动化学院自动控制原理中文课件：第二讲 Laplace变换.ppt

《自动控制原理》Theories of Automatic Control 任课教员：韦庆 电 话：74380 教学方式：讲授为主 学习方式：自学 第二章 系统的数学模型 教学要求：（教材第二章） 主要内容：Laplace变换；微分方程模型；系统模型的线性化；传递函数模型、框图和信号流图模型及其化简。 基本要求：掌握控制模型建立、线性化、化简方法。 2.1 引 言 2.1 引 言 2.1 引 言 2.1 引 言 2.1 引 言 2.1 引 言 2.2 拉普拉斯变换 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 (1) s是复变量： 在求取拉普拉斯变换时，s的唯一作用是使拉普拉斯积分收敛，可以看成常数。 2 拉普拉斯变换 (2) F(s)是复函数： 例如： 2 拉普拉斯变换 (3) f(t)是实函数，且满足： 2 拉普拉斯变换 补充一个定理：尤拉定理 尤拉定理可以用泰勒展开加以证明 尤拉定理证明 有： 所以： 而： 改写 所以 利用拉普拉斯变换解微分方程思路 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 3 常见函数的拉普拉斯变换 1) 指数函数 2) 阶跃函数 3) 斜坡函数 4) 正弦函数 5) 脉冲函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 1) 指数函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 2) 阶跃函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 2) 阶跃函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 3) 斜坡函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 3) 斜坡函数的拉普拉斯变换 3 常见函数的拉普拉斯变换 4) 正弦函数 3 常见函数的拉普拉斯变换 4) 正弦函数的拉普拉斯变换 3 常见函数的拉普拉斯变换 5) 脉冲函数 4 拉普拉斯变换性质 1) f(t)与 相乘 4 拉普拉斯变换性质 1) f(t)与 相乘 4 拉普拉斯变换性质 2) 实微分定理 4 拉普拉斯变换性质 2) 函数f(t)的微分的拉普拉斯变换为： 式中f(0)是f(t)在t=0时的值。 4 拉普拉斯变换性质 实微分定理证明： (1)把s看成常数，考虑下面函数微分： 利用拉普拉斯变换解微分方程思路 4 拉普拉斯变换性质 3) 终值定理: 若f(t)的拉普拉斯变换为F(s) 并且 存在，则 终值定理证明 4 拉普拉斯变换性质 例1已知时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为 4 拉普拉斯变换性质 4) 初值定理: 如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 并且 存在，则 初值定理证明 4 拉普拉斯变换性质 例2已知时间函数f(t)的拉普拉斯变换F(s)为 4 拉普拉斯变换性质 5) 复微分定理 4 拉普拉斯变换性质 5) 复微分定理:如果f(t)是可以进行拉普拉斯变换的，则除了在F(s)的极点以外，有 4 拉普拉斯变换性质 复微分定理证明: 4 拉普拉斯变换性质 复微分定理应用： 4 拉普拉斯变换性质 例3 求下面函数的拉普拉斯变换： 4 拉普拉斯变换性质 例3 求下面函数的拉普拉斯变换： 4 拉普拉斯变换性质 6) 卷积积分（仅要求了解） 下列积分，称为卷积积分 2.2 拉普拉斯变换及微分方程的解 5 拉普拉斯反变换 对于任何时间连续的时间函数来说，它与拉普拉斯变换之间保持唯一的对应关系。 5 拉普拉斯反变换 5 拉普拉斯反变换 1） 只包含不同极点的F(s)的部分分式展开 例4：求下列函数的拉普拉斯反变换 5 拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法： 5 拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法： 5 拉普拉斯反变换 部分分式展开系数求法： 5 拉普拉斯反变换 1） 只包含不同极点的F(s)的部分分式展开 例5：求下列函数的反拉普拉斯变换 5 拉普拉斯反变换 1) 只包含不同极点的F(s)的部分分式展开 5 拉普拉斯反变换 例6：求下列函数