合肥工业大学现代控制理论课件第六章 最优控制.ppt

性能指标取极值时，必有 （36） 选择 使其满足 （37） （38） 由于 、 是任意的，可得 （39） （40） （41） 而 例6-3 系统的状态方程为 性能指标 求最优控制 和末值时刻 ，使性能指标泛函取极小值。 解 经判断系统是能控的 1） 构造哈密顿函数 2）由控制方程 ，得 或 3）由伴随方程 4）将 代入状态方程 解为 其中， 、 为积分常数，由 ， 确定，得 5）由于 自由， ，得到 或 解得 6.3 极小值原理及其在快速控制中的应用 6.3.1 问题的提出 用变分法求解最优控制时，认 为控制向量 不受限制。但是 实际的系统，控制信号都是受到 某种限制的。 因此，应用控制方程 来确定最优控制，可能出错。 a)图中所示，H 最小值出现在左侧，不满足控制方程。 b)图中不存在 6.3.2 极小值原理 非线性定常系统的状态方程为 （42） 初始时刻 ，初始状态 ，末值时刻 ，末端状态 自由 （43） 性能指标为末值型性能指标 （44） 要求在状态方程约束下，寻求最优控制 及 使系统从 转移到 ，并使J 取极小值。 以下就是用极小值原理解前面的问题： 设 为容许控制， 为对应的状态轨线。为了使它们分别成为最优控制 和最优轨线 ，存在一个向量函数 ，使得 （45） （46） 其中哈密顿函数： （47） （49） （48） 和 满足边界条件 则哈密顿函数H 相对最优控制取极小值，即 （50） 或者 ≤ （51） 在末值时刻 是自由的情况 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 在末值时刻 是固定的情况 （52） （53） 几点说明： 1）极小值原理给出的只是最优控制应该满足的必要条件。 2）极小值原理的结果与用变分法求解最优问题的结果相比，差别仅在于极值条件。 4）非线性时变系统也有极小值原理。 3）这里给出了极小值原理，而在庞德里亚金著作论述的是极大值原理。因为求性能指标J的极小值与求－J的极大值等价。 6.3.3 二次积分模型的快速控制 在问题6-2中，若 ， ，令 。就是二次积分模型。 其状态方程模型 （54） ≤1 （55） 系统的初始状态为 （56） 末值状态为 （57） 性能指标为 （58） 要求在状态方程约束下，寻求满足（55）式的最优控制 ，使系统从 转移到 ，同时使J 取极小值。 因为在这个最优控制问题中，控制信号 受限制，因此用极小值原理来求解。系统是能控的，其解存在且唯一。 1）哈密顿函数为 （59） 2）根据极值条件（50），来确定最优控制。 只能用分析的方法确定u(t)，使哈密顿函数取极小值。显然，在u的限制条件下，选择u 使H 取得极小。有 （60） 或 （61） 3）伴随方程为 如果 的初始值为 ， ，则 （62） （63） 在[0， ]内最多变号一次，最优控制函数有以下可能的4种情况 4）由状态方程可知，当 时，求得 消去t 得 或写成 为了形象地表示系统的运动形态，引用相平面方法，画出相轨迹如下图所示。相轨迹为两族抛物线。 从 到达 的相轨迹只有两条 、 。 ≤0 ≥0 将 和 合起来， 曲线r 将相平面分成两个区域 和 当初始状态 位于 ： 为 （+1，－1） 最优轨线：当初始状态 位于 ： 为 （－1，+1） 曲线r 常称为转移曲线或开关曲线。 开关曲线方程式为 也称为开关函数。最优控制为 当 及 ， ≤0 当 及 ， ≥0 最优控制系统的结构图，如下图所示 5）最优性能指标 初始状态在A点： 说明：通过这个最优控制问题的求解发现，最优控制与问题6-1不同。在问题6-1中， 为时间的三