东北农业大学理学院多元统计分析课件 第一章（2）.ppt

§1.3 多元正态分布 §1.3 多元正态分布 §1.3.1 多元正态分布的定义 §1.3.1 多元正态分布的定义 §1.3.2 多元正态分布的性质 § 1.3.2 多元正态分布的性质 § 1.3.3 条件分布和独立性 § 1.3.3 条件分布和独立性 § 1.3.3 条件分布和独立性 § 1.3.3 条件分布和独立性 § 1.3.3 条件分布和独立性 § 1.3.3 条件分布和独立性 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.4 均值向量和协方差阵的估计 §1.5常用分布及抽样分布 §1.5常用分布及抽样分布 目录 上页 下页 返回 结束 §1.5.3 中心分布与Wilks分布 由于Λ分布在多元统计中的重要性,关于它的近似分布和精确分布不断有学者进行研究,当和中的一个比较小时, Λ分布可化为F分布,表1-2列举了常见的情况. 表1-2 * * 第一章 多元正态分布 目录 上页 下页 返回 结束 第二节 §1.4 均值向量和协方差阵的检验 东北农业大学 理学院 §1.3 多元正态分布 §1.5 常用分布及抽样分布 多元正态分布是一元正态分布的推广。迄今为止,多元分析的主要理论都是建立在多元正态总体基础上的,多元正态分布是多元分析的基础。另一方面，许多实际问题的分布常是多元正态分布或近似正态分布，或虽本身不是正态分布，但它的样本均值近似于多元正态分布。 本节将介绍多元正态分布的定义，并简要给出它的基本性质。 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 §1.3.1 多元正态分布的定义 §1.3.2 多元正态分布的性质 §1.3.3 条件分布和独立性 |∑|为协差阵∑的行列式。 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.5：若 元随机向量 的概率密度函数为： 则称 遵从 元正态分布，也称X为P元正态变量。记为 定理1.1将正态分布的参数μ和∑赋于了明确的统计意义。有关这个定理的证明可参见文献[3]。 多元正态分布不止定义1.5一种形式，更广泛地可采用特征函数来定义，也可用一切线性组合均为正态的性质来定义等，有关这些定义的方式参见文献[3]。 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.1：设 则 目录 上页 下页 返回 结束 1、如果正态随机向量 的协方差阵∑是对角阵，则X的各分量是相互独立的随机变量。证明参见文献[4]，p.33。 容易验证， ，但 显然不是正态分布。 2、多元正态分布随机向量X的任何一个分量子集的分布（称为X的边缘分布）仍然遵从正态分布。而反之，若一个随机向量的任何边缘分布均为正态，并不能导出它是多元正态分布。 例如，设 有分布密度 目录 上页 下页 返回 结束 4、若 ，则 若 为定值，随着 的变化其轨迹为一椭球面，是 的密度函数的等值面.若 给定，则 为 到 的马氏距离。 m 3、多元正态向量 的任意线性变换仍然遵从多元正态分布。即设 ，而m维随机向量 ，其中 是 m×p阶的常数矩阵，b是m维的常向量。则m维随机向量Z也是正态的，且 。即Z遵从m元态分布，其均值向量为 ，协差阵为 。 目录 上页 下页 返回 结束 我们希望求给定 的条件分布，即 的分布。下一个定理指出：正态分布的条件分布仍为正态分布。 设 p≥2,将X、μ和Σ剖分如下： 证明参见文献[3]。 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.2：设 ，Σ0，则 (1.28) 目录 上页 下页 返回 结束 定理1.3：设 ，Σ0，将X，μ，Σ剖分如下： 则 有如下的条件均值和条件协差阵的递推公式： (1.2