东华大学信息科学与技术学院信号与系统课件 Lecture5.1-5.6.ppt

信 号 与 线 性 系 统 主讲教师：吴赟 5.1 引言 本章内容及学习方法 5.2-5.4 拉普拉斯变换的定义、收敛域 主要内容 一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 2．拉氏逆变换 3．拉氏变换对 二．拉氏变换的收敛 例题及说明 三．一些常用函数的拉氏变换 4．t 的正幂函数类 5.5 拉普拉斯变换的基本性质 主要内容 二．原函数微分 七．终值 5.6 拉普拉斯逆变换 主要内容 四.留数法求原函数 假设sk是F(s)的n阶极点，则其留数为： 作业 P277 5.3 5.4 P278 5.6 5.9 (a)(c) 算子方程和S域方程对比 二．F(s)的一般形式 ai,bi为实数，m,n为正整数。 分解 零点 称为 点 为 为 极点 称为 点 三．部分分式展开法(mn) 1.第一种情况：单阶实数极点 2. 第二种情况：极点为共轭复数 3.第三种情况：有重根存在 p1, p2, p3… pn为不同的实数根 1. 非真分式—— 化为真分式＋多项式 两种特殊情况 1.非真分式——真分式＋多项式 作长除法 2.含e-s的非有理式 注意：F(s)满足m=n时，不能用此方法求解； 解决方法是先用长除进行预处理。 4.3 拉普拉斯反变换 inverse laplace transform 有两个单实根 由时域平移性质 例3. 求 例4. 用留数法求 例5. 求图示波形的拉氏变换 例7. 试求下列F(s)所对应的f(t)的初值和终值 由于F(s)在右半s平面有极点s=1,故f(t)终值不存在。 由于F(s)在jω轴上有一对共轭极点s=± jω0 故f(t) 终值不存在。 第 * 页 电话办） Email: wuyun_hit@dhu.edu.cn 以傅里叶变换为基础的频域分析方法的优点在于：它给出的结果有着清楚的物理意义 ，但也有不足之处，傅里叶变换只能处理符合狄利克雷条件的信号，而有些信号是不满足绝对可积条件的，因而其信号的分析受到限制； 另外在求时域响应时运用傅里叶反变换对频率进行的无穷积分求解困难。 为了解决对不符合狄氏条件信号的分析，第三章中引入了广义函数理论去解释傅里叶变换，同时，还可利用本章要讨论的拉氏变换法扩大信号变换的范围。 优点： 求解比较简单，特别是对系统的微分方程进行变换时，初始条件被自动计入，因此应用更为普遍。 缺点： 物理概念不如傅氏变换那样清楚。 本章首先由傅氏变换引出拉氏变换，然后对拉氏正变换、拉氏反变换及拉氏变换的性质进行讨论。 本章重点在于，以拉氏变换为工具对系统进行复频域分析。 注意与傅氏变换的对比，便于理解与记忆。 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛 一些常用函数的拉氏变换 则 1．拉普拉斯正变换 采用0-系统，相应的单边拉氏变换为 收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件； 6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。 的信号称为指数阶信号， 满足 1.阶跃函数 2.指数函数 全s域平面收敛 3.单位冲激信号 常用 (2阶) (n+1阶) 续… 其它变换结果见书P.215。可见，很多信号的F(s)都 能表示成有理函数形式。 线性 原函数微分 原函数积分 平移性质 尺度变换 初值 终值 卷积 对s域微分 对s域积分 一．线性 已知 则 同理 例题： 则 题 电感元件的s域模型 电感元件的s模型 应用原函数微分性质 设 三．原函数的积分 题 电容元件的s域模型 电容元件的s模型 1.时域平移（延时） 则 2.s域平移 四、平移性质 五．尺度变换 时移和标度变换都有时: 六．初值 终值存在的条件: 八．卷积 例 题 ：线性时不变系统零状态响应 九．对s微积分 1、微分： 2、积分： 部分分式法求拉氏逆变换 两种特殊情况 留数法求拉氏逆变换 一．拉氏逆变换的三种方法 (1)部分分式法 (2)利用留数定理——围线积分法 (3)数值计算方法——利用计算机