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杭州电子科技大学数字信号处理课件第2章 离散系统的变换域分析――z变换.ppt

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* 第 2 章离散系统的变换域分析—z变换 第2章 离散系统的变换域分析——z变换 2.1 z变换和逆z变换 2.2 离散系统的的系统函数与系统特性的描述 2.3 系统的频率响应与系统滤波特性 2.4 z变换和拉氏变换的关系 2.1 z变换和逆z变换 2.2.1 z变换的定义与收敛域 1. Z变换的定义 对于离散时间信号x(n),x(n)的z变换定义为 记为: 简称z变换。 2. Z变换收敛域 按照级数理论,级数收敛的充分必要条件是绝对可和, 因此,z变换收敛的充要条件为: 要满足上述不等式, 必须限定在一定的范围内,这个 范围就称为z变换的收敛域(ROC)。 3.序列的类型与收敛域 (1) 有限长序列 有限长序列是指在有限区间( )之间内,序列具有非 零的有限值,在此区间内,序列值都为零,即: 显然,z在 区域,都满足此条件,所以有限长序列 的收敛域(ROC)为 。 有限长序列的收敛域是否包含0点或者 主要由序列的起 始、终止位置 和 决定,收敛域可分为以下三种情况: ① ② ③ 当 时(双边有限序列),收敛域为 当 时(右边有限序列),收敛域为 当 时(左边有限序列),收敛域为 0 n2 n1 n (a)有限长序列 (b)收敛域 (2)右边序列和因果序列 右边序列 其z变换为: 第一项为有限长序列,它的收敛域为 ,第二项为 z的负幂级数它的收敛域为 。因此,只有当两项 都收敛时,级数收敛,所以右边序列的收敛域为: 收敛域 x(n) n 0 n1 . . 1 ... (a) 右边序列 (b)收敛域 因果序列:在右边序列中,有一种特殊的右边序列,即 的序列,这样的序列称为因果序列,即: 其收敛域为: (3)左边序列 其z变换为: 第二项为有限长序列,其收敛域 ; 第一项为z的正幂次级数,其收敛域为 ; 为最大收敛半径。综合起来,左边序列的收敛域为: x(n) …. (4)双边序列 双边序列指n为任意值时,x(n)皆有值的序列,即左边序列 和右边序列之和。其z变换为: 第一项为右边序列(因果)其收敛域为 ;第二项为 左边序列,其收敛域为: 如果有Rx-Rx+,其收敛域为 0 n 例2-1 已知序列 求此序列的z变换 和收敛域。 解:这是一个有限长序列,由z变换的定义得: 所以,序列的z变换收敛域为z平面上除原点以外的全部区 域,即 。 例2-2 已知序列 ,求此序列的z变换和收敛域。 解:此序列是一个因果序列,所以z变换为 上式是一个无穷项的等比级数求和,要使其z变换收敛,即 只有在 即 级数才收敛。用等比求和可得: 又因 所以收敛域应包括 处,最后得z变换的收敛域: 例2-4 求此序列的z变换、收敛域以及 极点和零点。 解:这是一个双边序列,其z变换为 极点: 零点: 上述条件在 才成立,如果 则收敛域不存在。 例2-5 已知某序列x(n)z变换X(z)的极点分布如图所示,试判断序列x(n)的类型。 Re[z] jIm[z] z1 z2 z3 解:由于不同的收敛域对应不同的序列, 因此有: (1)当 ,对应的序列x(n)为 左边序列。 (2)当 ,对应的序列x(n)为 双边序列。 (3)当 ,对应的序列x(n)为 双边序列。 (4)当 ,对应的序列x(n)为双边序列。 2.1.2 z逆变换 由z变换表达式X(z)以及相应的收敛域求原序列x(n)过程 称为z逆变换,记为: 求逆z变换的方法主要有三种:围线积分法、部分分式 展开法和长处法。 1.围线积分法留数法 设双边序列x(n)的z变换为 由复变函数理论可知,在此区域内X(z)可展开洛朗级数, 即: 式中Cn为洛朗级数的系数,其大小为: 这里的围线c是X(z)的收敛域内围绕原点的一条逆时针方向 的任一闭合曲线。 将z变换式子和上式相比可以看出,x(n)就是洛朗级数的 系数Cn,所以有: 该式就是用围线积分求z逆变换的积分公式。 借助留数定理,积分值等于曲线c所包围函数 的极点的留数之和。即: 式中 为函数 的极点, Res表示留数。 对于留数 大小的计算与 的阶数有关。 (1)如果 为 的单一极点,则有 (2)如果 为 的多重(l阶)

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