昆明理工大学信息工程与自动化学院自动控制原理课件第4章 根轨迹分析.ppt

4.1 根轨迹的基本概念 根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。 下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义 。 设控制系统的结构如图所示 闭环特征方程为 ： 改变 值时，特征根 、 的变化值如表所示， 在 平面上的轨迹变化如图所示。 根轨迹不仅直观地表示出了参数 变化时闭环极点的变化，而且反映了参数 变化对系统性能的影响。 现在你可能产生新的问题了：通过根轨迹的变化趋势来分析系统的性能是比较直观，但问题是如何快捷地得到系统的根轨迹图呢？  1 根轨迹方程 设系统开环传递函数为 则系统的闭环传递函数为 系统的闭环特征方程为 可见，满足开环传递函数等于-1的 即为闭环特征根，也就是根轨迹上的一个点。 已知系统开环传递函数的一般表达式为 定义根轨迹方程为： 2 绘制根轨迹的基本规则 当根轨迹增益 变化时，要精确地绘制闭环特征根在 平面上的移动轨迹是比较困难的。但可以根据幅值方程和相角方程找到根轨迹的一些关键点和基本特征，绘制出近似的根轨迹曲线。我们来学习绘制规则。 （1）根轨迹的分支数 ① 根轨迹的起点是指 时，特征根在 平面上的位置。此时根轨迹方程为： ② 根轨迹的终点是指 时，特征根在 平面上的位置。 考虑 平面的无穷远点，即 时有 （3）根轨迹的对称性 控制系统闭环特征方程的系数是由实际物理系统的结构决定的，均为实数，所以闭环特征根若为实数根，则分布在 平面的实轴上；若为复数，则成对出现为共轭复根。因此它们形成的根轨迹必对称于实轴。 例4.1 已知系统的开环传递函数为 试确定系统的根轨迹。 （4）实轴上的根轨迹 若实轴上的某一点是根轨迹上的点，则它必然满足相角方程。设系统的开环零、极点分布如图4.4（a）所示，实轴上分布的零、极点将实轴分成了若干个区间断。 ① 在 区间上取一点 ，由各开环零、极点向 分别引矢量， ② 在 区间上取一点 ， 由各开环零、极点向 分别引矢量 (5)根轨迹的渐近线 当 时，有 条根轨迹终止于无穷远点，其方向需要由根轨迹的渐近线来确定。 ① 渐近线与实轴的夹角 设无穷远点是根轨迹上的点，记为 ，则它到各开环零、极点的矢量与实轴正方向的夹角可看作都是相等的，记为 。 应满足相角方程： ② 渐近线与实轴的交点 若无穷远点是根轨迹上的点，则可以认为 平面上的所有有限开环零、极点到它的矢量长度均相等，即对无穷远闭环极点 来说，所有的开环零、极点汇集成一个点，用 表示。它就是所求渐近线与实轴的交点。 例4.2 已知系统开环传递函数试绘制系统的根轨迹。 解：① ， ，所以相应有3条根轨迹， 且全部趋于无穷远点；  （6）根轨迹的分离点和会合点 根轨迹在实轴相交后进入复平面的点称为根轨迹的分离点，而根轨迹由复平面进入实轴的交汇点称为根轨迹的会合点。分离点与会合点实际上是闭环特征方程的重根。 当系统特征根具有复数重根时，分离点和会合点也可能产生于共轭复数对中。如图4.7所示。 设系统的开环传递函数为 例4.3 求例4.2中根轨迹的分离点或会合点。 解：由系统的开环传递函数： （7）根轨迹的出射角与入射角 寻找根轨迹的出射角和入射角的目的在于了解开环复数零、极点附近根轨迹的变化趋势。所谓出射角指根轨迹在复数开环极点（根轨迹起点）处的切线与正实轴的夹角。所谓入射角指根轨迹在复数开环零点（根轨迹终点）处的切线与正实轴的夹角。  式中， 为待求开环复数极点 的出射角， 为其它开环极点到 的矢量相角， 为开环零点到 的矢量相角。 例4.4 已知系统开环传递函数 试绘制系统的根轨迹。 解：① ，系统有两条根轨迹，且有 条趋于无穷远点。 ② 根轨迹的起点为 ，