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教材P418 No.4-2有错! * ?=2 ?=1 ? 例:求原函数 * 另解:先不考虑频移 已知 由频 域微分性质 * 例:求下列函数的拉氏反变换 时移性质 解: * 长除法 * 求拉氏反变换 解: * 1 -1 0 2 t 解:先不考虑频移,令 1 -1 0 2 t 1 -1 0 2 t * * * 拉氏变换分析法是分析线性连续系统的有力工具,它将描述系统的时域微积分方程变换为s域的代数方程,便于运算和求解;变换自动包含初始状态,既可分别求得零输入响应、零状态响应,也可同时求得系统的全响应。 § 5.5 拉普拉斯变换分析法 * 用拉氏变换法分析电路的步骤 列s域方程(可以从两方面入手) 列时域微分方程,用微积分性质求拉氏变换; 直接按电路的s域模型建立代数方程。 求解s域方程。 ,得到时域解答。 * 输入信号f(t) 为有始信号 一、 用拉普拉氏变换分析系统 * 方程两边取拉氏变换,考虑到时域微分性质 ... * ... * 整理成 A0(s) A1(s) An-2(s) An-1(s) ... * 系统函数 * 复频域分析法 解: 例:求系统响应y(t)。已知 * * * * 例1 求下列函数的拉氏变换 二、应用举例 * 复频域微分性 * * 例2:求函数 的拉氏变换 方法一:按定义式求积分 方法二:利用线性叠加和时移定理 t 2 1 1 0 * t -1 2 1 1 (-2) 0 (1) (1) t 方法三:利用微分积分性质. t 2 1 1 0 * 例3:求单边拉氏变换. * 例4:周期信号的拉氏变换及其应用 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 * 单边正弦、余弦信号的拉氏变换 * 衰减余弦的拉氏变换 频移特性 * 周期矩形脉冲信号拉氏变换 ) 1 ( 1 1 ) ( ) ( 2 1 sT s? sT e s e e s F s F - - - - - = - = ) 1 ( 1 ) ( 2 1 s? e s s F - - = 第一周期的信号 第一周期的拉氏变换 利用时移特性 利用无穷级数求和 * 单对称方波 周期对称方波 乘衰减指数 包络函数 矩形脉冲衰减信号的拉氏变换 * 抽样信号的拉氏变换 抽样序列 抽样序列的拉氏变换 时域抽样信号 抽样信号的拉氏变换 * § 5.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系 因果 乘衰减因子 * 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 拉氏变换存在,傅氏变换不存在 * 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 * 从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 存在傅氏变换,但收敛于虚轴,不能简单用 ,要包含奇异函数项。 K1=1 * 从 的单边拉氏变换求它的傅氏变换 K2 K1 * 1.简单函数 利用典型信号的变换对(查表)及性质 例: 化简的第一步是化成真分式 § 5.4 拉普拉斯反变换 例: * 例: 解: 根据s域微分性质 * 例: ? 解:根据时域积分性质 * 2.部分分式展开 真分式形式 1.D(s)=0的根是实根且无重根 D(s)是s的有理多项式,可以进行因式分解 * 左右两边同乘以因子 再令 * 例: 解: 4s2+11s+10 2s2+5s+3 2 4s2+10s+ 6 -) s+4 * * (2).D(s)=0的根有复根且无重根 的反变换可用配方法 * * * (3).D(s)=0的根有重根 可通过对应项系数相等或公式法得到 * 依次类推 它们的拉氏反变换可通过频域微分性质得到 如果D(s)=0有复重根,可以用类似于复单根的方法导出相应的反变换关系式 * 也可以不展开为复数形式,而用性质 系数求得后,可用求得其反变换。 * 掩盖法 例:求原函数 * § 5.2 拉普拉斯变换的基本性质 * 拉氏变换的基本性质(1) 线性 微分 积分 时移 频移 * 拉氏变换的基本性质(2) 尺度变换 终值定理 卷积定理 初值定理 * 1.线性 一、拉氏变换的性质 * 2.时移性 一、拉氏变换的性质 证明: 令t-t0=x,则dt=dx * 观察下列图形的时移关系 t 0 t 0 t 0 t 0 * 解:(1)和(2)的单边拉氏变换相同 求下列拉氏变换 * * * 例:求锯齿波的拉氏变换 解: 由时移性 所以: t T E T t E T t E T t k= -E/T * 利用时移性质可以求单边周期信号的拉氏变换 设f1(t)表示第一个周期的函数 * 例:求半波正弦函数的拉氏变换 O T/2
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