吉林大学概率论与数理统计课件 第六章.ppt

* 第六章 数理统计的基本知识 数理统计是以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象．通过统计分析，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和推断． 第一节 总体与样本 在一个统计问题中，我们把所研究对象的全体称为一个总体．总体中的每个元素(即每一个研究对象)称为个体． 若总体中包含有限个个体，则称这个总体为有限总体，否则称为无限总体，总体中所包含的个体总数称为总体容量． 在统计问题中，人们所关心的往往不是总体的一切方面，而是它的某一项数量指标X．因此，我们把这个数量指标X所有可能取值的全体就作为总体看待，称为总体X，X是一个随机变量．我们要根据试验或观察得到的数据来得到X的概率分布和数字特征，分别称为总体的分布和数字特征． 大家知道，随机现象的统计规律性必然在大量的重复试验中呈现出来, 为了推断总体X 的性质，从理论上讲，应该对每个个体逐一进行测试，然而实际上这样做往往是不现实的，例如，要研究灯泡寿命，由于寿命测试是破坏性的，当测试过每只灯炮的寿命后，这批灯泡就报废了． 一般来说，恰当的方法是按一定的规则从总体中抽取若干个个体进行测试，为了使测试到的数据能很好地反映总体的情况，当然应该要求总体中每一个个体被抽到的可能性是均等的．并且在抽取一个个体后总体的成分不改变．这种抽取个体的方法称为简单随机抽样．被抽出的部分个体，叫做总体的一个样本． 假设我们从总体 X 中抽取 n 个个体进行测试(简单抽样)，把测试结果分别记作X1，X2，…, Xn．由于抽样的随机性，Xi 可以取 X 所有可能的值，是与 X 具有相同分布的随机变量，且 X1，X2，…，Xn 相互独立．这样的 n 个个体称为总体 X 的一个简单随机样本． 定义 设 X 是具有某一概率分布的随机变量(看作一个总体)．如果随机变量X1，X2，…, Xn 相互独立，且都与 X 具有相同的概率分布, 则称 n 维随机变量 (X1，X2，…，Xn) 为来自总体 X 的简单随机样本，简称样本，n 称为样本容量． 在对总体X进行一次具体的抽样并作观测之后，得到样本(X1，X2，…，Xn)的确切的数值(x1，x2，…，xn)，称为一个样本观测值(观察值)，简称样本值． 样本(X1，X2，…，Xn)所有可能取值的全体称为样本空间，它是n维空间或其中的一个子集．样本观察值(x1，x2，…，xn)是样本空间中的一个点． 如果总体 X 的分布函数为F(x)，则 X 的样本 X1，X2，…，Xn 的联合分布函数为 . 如果总体 X 为连续型且概率密度为 f(x)，则样本(X1，X2，…，Xn)的联合概率密度为 ． 第二节 统计量及其分布 一、统计量 样本是总体的代表，是统计推断的依据．在应用时，往往不是直接使用样本本身，而是针对不同的问题构造样本的函数，来进行统计推断． 定义1 设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，t = g(t1, t2,…, tn) 为t1, t2, …, tn的一个单值实函数，并且其中不包含任何未知参数，则称 T = g(X1, X2, …, Xn)为一个统计量． 设 x1, x2,…, xn 是相应于样本 X1, X2, …,Xn 的样本值，则称 g(x1，x2，…, xn)是统计量T = g(X1,X2,…,Xn)的观察值． 二、样本矩 下面给出几个常用的统计量．设(X1，X2，…，Xn)是来自总体 X 的一个样本，(x1，x2，…，xn)是样本观察值，定义: 样本均值 ． 样本分差 . 样本标准差（均方差） ． 样本k阶(原点)矩 （k=1，2，… ) . 样本k阶中心矩 （k=1，2，… ) . 显然 ， ． 它们的观察值分别为 ,