吉林大学概率论与数理统计课件 第四章、第五章.ppt

证 令 ，则有 ， ，由定理1有 ， 定理2（契比雪夫大数定律的特例） 设 相互独立，且具有相同的数学期望 E ( Xk ) =μ 和方差 ，则对于任意正数ε ， . 证 只就连续型进行证明，设 X 的概率密度为 f (x)， 则有 因此有 . 定理2′(契比雪夫定理) 设 相互独立，分别具有数学期望 及方差 并且方差是一致有上界的，即存在正数 M ，使得 ， ，则对于任意正数ε ，恒有 . 定理3（伯努利定理） 设 nA 是在 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， P( A ) = p ，则对任意正数ε ，有 . 证 ． 由定理1可得 ， 于是有 . 定理4（辛钦定理） 设 相互独立，服从同一分布，期望 E ( Xk ) = μ存在，则对于任意正数ε ，有 . 证明略．此定理说明， 按概率收敛于μ = E ( Xk ) ．进一步有 按概率收敛于 ．这是参数估计的理论基础． 第二节 中心极限定理 定义2 设 的分布函数依次为 X 的分布函数为 F ( x )．如果对于F ( x ) 的每个连续点 x ，都有 , 则称随机变量序列 依分布收敛于 X ，记为 . 定理5（独立同分布中心极限定理） 设 相互独立，服从同一分布，存在期望 E (Xk) =μ和方差 ，则 依分布收敛于标准正态分布 N ( 0, 1 )，即对于 Yn 的分布函数 的连续点 x 有