计数方法与技巧(插板法).docVIP

. . 计数方法与技巧（插板法概念） 计数方法与技巧（插板法例题1） 计数方法与技巧（插板法例题2） 计数之插板法习题1 　　插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。 　　应用插板法必须满足三个条件： 　　（1） 这n个元素必须互不相异 　　（2） 所分成的每一组至少分得一个元素 　　(3)??? 分成的组别彼此相异 　　举个很普通的例子来说明 　　把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？ 　　问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36 　　下面通过几道题目介绍下插板法的应用 　　a? 凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法） 　　1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 　　2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？ 　　b 添板插板法 　　3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？ 　　4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？ 　　5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？ 　　点击下页查看答案： 　答案：　　1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？ 　　显然就是 c12 2=66 　　2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28 　　3、　-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -?????????? o表示10个小球，-表示空位 　　11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空 　　此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空 　　则每一组都可能取球为空?? c12 2=66 　　4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab 　　显然a+b=9 ,且a不为0 　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -?? -?????????? 1代表9个1，-代表10个空位 　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45 　　5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c=9,a不为0 　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -?? -? - 　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板 　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165 　计数之插板法习题2 　　c 选板法 　　6： 有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完为止，求有多少种不同吃法？ 　　d 分类插板 　　7： 小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法？ 　　e 二次插板法 　　8 ：在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对次序不变，再添加3个节目，共有几种情况？ 　答案： 　　6、o - o - o - o - o - o - o - o - o - o???? o代表10个糖，-代表9块板 　　10块糖，9个空，插入9块板，每个板都可以选择放或是不放，相邻两个板间的糖一天吃掉 　　这样一共就是 2^9= 512啦 　　7、此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论 　　最多吃5天，最少吃1天 　　1： 吃1天或是5天，各一种吃法? 一共2种情况 　　2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况？ c10 1=10 　　3：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天? c8 2=28 　　4：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天？c6 3=20 　　所以一共是 2+10+28+20=60 种 　　8、　-o - o - o - o - o - o -