《高等数学》第6章常微分方程.pptVIP

第6章 常微分方程 知识目标 了解二阶微分方程解的结构； 理解微分方程、阶、解、通解、初始条件各特解等概念； 掌握可分离变量方程的解法； 掌握一阶线性微分方程的解法； 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握两种常见类型的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法. 能力目标 通过微分方程的学习，进一步培养学生独立自主的思考能力，明辨是非的判断能力. 6.1 微分方程的基本概念 通过实际例子；了解微分方程的概念和微分方程的阶的概念；掌握求微分方程通解的方法；能够利用初始条件求微分方程的特解. 6.1.1 实例分析 6.1.2 微分方程的基本概念 例 题 想一想 建设绿地、防止土地沙漠化的环保意识已成为人 们的共识.现已查明，有一块土地正在沙化，并且 沙化的数量正在增加，其增加的速率与剩下的绿地 数量成正比.有统计得知，每年沙化土地的增长率 是绿地的 ，现有土地10万亩，试求沙化土地与 时间的函数关系式. 6.2 一阶微分方程 了解可分离变量的微分方程的概念，掌握求解的步骤；了解一阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的概念；掌握求解一阶线性方程的基本步骤，并能够灵活运用. 6.2.1 可分离变量的微分方程 例 题 6.2.2 一阶线性微分方程 6.2.2 一阶线性微分方程 例 题 想一想 6.3 二阶常系数线性微分方程 了解二阶常系数线性微分方程的概念及分类；掌握二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的求解方法及分类；能够灵活运用公式解决实际问题. 6.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 6.3.1 二阶常系数齐次线性微分方程的解法 根据特征根的不同情况求通解 例 题 6.3.2 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 例 题 例 题 想一想 本章小结 本章主要介绍微分方程及解的有关概念、一阶微分方程的分离变量法、一阶线性微分方程的解法、二阶常系数线性微分方程的解法.一阶常微分方程的解法特点是分类求解,因此要熟悉基本类型的标准方程及其求解方法.二阶常系数线性微分方程的求解方法——特征根法和待定系数法都是代数方法.在由所给微分方程归结为相应代数方程(组),再由所得代数方程(组)的根(解)归结为微分方程的通解(特解)的过程中,掌握线性身分方程通解(特解)的结构是解题的关键,也是重点. 解： * * 德育目标 培养学生小心求证，大胆应用于实际的综合能力. 想一想： 解析： 想一想： 解析： 微分方程 微分方程的阶 含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程. 在一个微分方程中,未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶. 注 微分方程的解 微分方程的通解 若把某个函数代入微分方程后,使该方程成为恒等式,则这个函数称为微分方程的解. 如果微分方程的解中含有任意常数,且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解称为微分方程的通解. 注 初始条件 微分方程的特解 确定微分方程通解中的任意常数值的条件称为初始条件. 微分方程的不包含任意常数的解称为微分方程的特解. 解： 解： 解： 解： 解： 解： 关 系 表 解： 解： 对f(x)的两种常见形式讨论 注 解： 解： 解：