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PAGE PAGE 17 §4.2 量子力学的矩阵表示 PAGE 10 §4.2量子力学的矩阵表示 一、态的表示 二、算符的表示 三、量子力学公式的矩阵表示 用力学量完全集 的正交、归一和完备的本征态矢量的集合作基底的表象，称为表象。 为书写简便，用代表，用代表，用代表本征值谱. 把表象简称为表象。以分立谱为例 本征方程： 基底： 正交归一化： 封闭关系： 一、态的表示 态在表象上的表示为一个列矩阵 矩阵元 代表态在基底上的投影，或称为展开系数。它可在坐标表象上计算 态和的内积可以通过列矩阵相乘得到 其中 ，. 这是因为 若 ，则称态和正交。而则是指态是归一化的。 基底在自身表象上的表示为 ? 第行 基底的正交归一化写成 . 态向基底的展开写成 展开系数 . 对于连续谱情况 本征方程： 基底： 正交归格化： 封闭关系： 态在表象上的表示矩阵成为本征值的函数 态和的内积为 因为 归一化条件为 . 而基底在自身表象上表示为 . 二、算符的表示 1．算符用矩阵表示 算符是通过对态的作用定义的。因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。 矩阵是算符在表象上的表示 矩阵元为 可以在坐标表象上计算。下面会看到，在坐标表象上矩阵元的计算公式为 式中. 【例】用包括Hamilton量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。在一维谐振子的能量表象上，计算坐标，动量和本身的表示矩阵。 利用矩阵元公式 得坐标，动量和的表示矩阵 2．在自身表象上力学量算符的表示 在自身表象上力学量算符的表示是一个对角矩阵，而对角元素就是这个力学量的本征值。 因此，求解力学量的本征值问题，可以通过选择合适的基底，使这一力学量算符的表示矩阵成为对角矩阵。对角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征态。 3．Hermite共轭矩阵和Hermite矩阵 （1）Hermite共轭矩阵 矩阵的Hermite共轭矩阵定义为：将转置且矩阵元取复共轭 . 例如 ，. 若算符的表示矩阵为，则Hermite共轭算符的表示矩阵必为的Hermite共轭矩阵． 证明： 即?，?. （2）Hermite矩阵 若，则称为Hermite矩阵。 若为Hermite矩阵，则 Hermite矩阵的非对角元是关于主对角线复共轭反射对称的，对角元为实数。 Hermite矩阵的非对角元是关于主对角线复共轭反射对称的，对角元为实数。 例如，的Hermite矩阵一定取下面形式 其中和为实数。 Hermite算符的表示矩阵必为Hermite矩阵。 4．算符在坐标和动量表象上的表示 （1）在坐标表象上的表示 例如Hamilton量表示为 注意，式中的函数代表“矩阵”是对角的，只在积分运算中起作用。 上述动量的表示可作如下理解 将上式中的被积函数写成 则原式为 即 为什么被积函数不写成的形式呢？这完全是为了符合基本假定. 为导出算符在坐标表象上的表示，首先把按和作展开。如果二元函数在附近可作展开 则算符可展开为 然后计算矩阵元，即可得到 . 【例】证明坐标表象上矩阵元 的计算公式为 其中. 证明： 【例】证明 证明： 要证明的第二式是第一式的复数共轭。 （2）动量表象 例如在动量表象上Hamilton量表示为 . 【例】一维谐振子能量本征方程的动量表象形式为 . 证明： 其中 代入后积分，即证。 【例】设质量为的粒子处于势场中， 为非零常数。求与能量对应的本征波函数。 解.显然无束缚态解。本征方程坐标表象形式为 而动量表象形式为 比坐标表象形式容易求解。 通过Fourie变换可得本征态的坐标表象表示 . 【思考】证明 三、量子力学公式的矩阵表示 下面列出量子力学重要公式在表象上的矩阵形式。 1．薛定谔方程的矩阵形式 其中 ， ， 证明： ， 2．力学量平均值公式的矩阵形式 ， 证明： 【例】