[数学]生物种群模型.pptVIP

稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 一、一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 二、二阶方程的平衡点和稳定性 稳定点 平衡点 称为方程（2）的平衡点记为 如果从所有可能的初始条件出发，方程（2）的解 都满足 则称平衡点p0 是稳定的；否则称平衡点是不稳定的 线性常系数方程稳定性判别方法 平衡点p0(0,0)的系数矩阵A的特征值?1，?2的性质所决定 不稳定 中心 不稳定 不稳定焦点 稳定 稳定焦点 不稳定 不稳定退化点 稳定 稳定退化结点 不稳定 鞍点 不稳定 不稳定结点 稳定 稳定结点 稳定性 平衡点的类型 结论： 若p0,q0,则平衡点稳定；若p0或q0,则平衡点不稳定 对于方程： 线性化： 稳定性结论见上表 捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 问题及 分析 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 考察一个渔场，其中的鱼量在天然环境下按一定规律增长。 产量模型 假设 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 建模 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 假设 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。 模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从Logistic规律; 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1) 的 ?1 倍。 对甲增长的阻滞作用，乙大于甲 乙的竞争力强 模型 仅当?1, ?2 1或?1, ?2 1时，P3才有意义 模型 平衡点稳定性分析 平衡点 Pi 稳定条件： p 0 且 q 0 种群竞争模型的平衡点及稳定性 不稳定 平 衡点 ?21, ?11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点 P3 是两种群共存的平衡点 ?11, ?21 P1稳定的条件 ?11 ? ?11 ?21 稳定条件 0 S1 S2 S3 平衡点稳定性的相轨线分析 从任意点出发(t=0)的相轨线都趋向P1(N1,0) (t??) P1(N1,0)是稳定平衡点 (1) ?21, ?11 t ? ? x1, x2 ? t ? ? x1 ?, x2? t ? ? x1, x2? P1 P2 有相轨线趋向P1 有相轨线趋向P2 P1稳定的条件：直接法?21 P1, P2都不(局部)稳定 0 (3) ?11, ?21 0 (2) ?11, ?21 0 (4) ?11, ?21 加上与(4)相区别的 ?11 P2 稳定 P3 稳定 P1全局稳定 结果解释 对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的?1 倍