线性代数修订版 董晓波1.3 初等矩阵与初等变换.ppt

矩阵的初等变换与初等矩阵间的关系 定理3 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. 初等变换与初等矩阵均是可逆的： 2、初等矩阵的重要结论 初等矩阵与初等变换 §1.3 引例 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1.3.1 初等变换 解： 用“回代”的方法求出解： 于是解得 小 结 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换 （1）交换方程次序； （2）以不等于0的数乘某个方程； （　与　相互替换） （以　　　替换　） （以　　　　替换　） （3）一个方程加上另一个方程的 倍． 3．上述三种变换都是可逆的． 　　由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换． 　　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算． 若记 则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组（1）的增广矩阵）的变换． 定义 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同。 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 逆变换 逆变换 逆变换 初等变换． 把“ ”换成“ ”)． 等价关系的性质： 1.3.2 矩阵的等价 用矩阵的初等行变换 解方程组（1）： 特点： （1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零； （2）每个台阶 只有一行，台阶数即是非零行的行数； （3）阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 行阶梯形矩阵. 结论： 行最简形矩阵 定理1 任意矩阵，行等价于一个行最简形矩阵。 例如， 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形． 特点： 定理2 任一矩阵 等价于一个标准形矩阵 1.3.3 初等矩阵 三种初等变换对应着三种初等方阵. 1、初等矩阵的定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.