《高等数学(工本)》总习题解答.docVIP

PAGE PAGE 10 《高等数学（工本）》总习题解答 （见教材第459页） 1．确定下列各级数的敛散性： （1）； 解 这是等比级数，公比，故该级数收敛 （2）； 解 因为，而发散，故由第二比较准则知该级数发散 注 本题也可用第一比较准则，因为 ，而发散，故发散 （3）； 解 因为 而收敛，故原级数收敛 另解：因，而收敛，故原级数收敛 （4）； 解 ，故级数发散 （5）； 解 因为，而发散，所以原级数发散 （6）； 解 因为，而收敛，故原级数收敛 （7）； 解 因为， 而是公比的等比级数，是收敛的，故由第二比较准则知收敛 （8）； 解 因为，故由检比法知收敛 （9） 解 因为 所以 故由检比法知该级数收敛 2．当取什么值时，下列各级数收敛？（参看习题11－3第7题） （1）； 解 故当即时该级数收敛；当即时，该级数发散；当时，原级数成为发散的，所以当时，级数收敛 （2）； 解 因为 故当即时，，从而该级数发散，仅当即时，该级数收敛 （3）； 解 因为， 当时该级数各项均无定义，所以该级数当时收敛 （4） 解 因为， 当时，该级数发散，所以无论为何值，该级数都发散，而当时，级数各项均无意义，无需讨论其敛散性，所以使该级数收敛的值不存在。 3．证明级数是发散的 证 因为 所以 又为交错级数 且 故由莱布尼兹准则知该级数收敛； 而发散，因此发散 4．设，且收敛，证明也收敛 证 因为收敛，所以，所以存在N，当n＞N，，从而 （n＞N） 而收敛，所以收敛，故由第一比较准则知收敛，所以收敛 证法2 因，故为收敛的正项级数，由正项级数收敛的充分必要条件（见教材第421页定理）知该级数的部分和上有界，即存在M＞0，使 又设级数的部分和为，且 从而有上界，所以由正项级数收敛的充分必要条件和级数收敛 5．如果条件收敛，证明，其中 这里为的部分和，为的部分和 证 因为条件收敛，所以发散，又和分别为和的部分和，从而（有限值），，于是 6．求下列各幂级数的收敛半径，并写出它们的敛区，在（1）到（8）题中，如果收敛半径为有限值，试确定在敛区端点处的敛散性： （1）； 解 故该级数的收敛半径R=2，敛区为（－2，2） 当时，幂级数成为，此级数为交错级数，且满足莱布尼兹准则的条件，故收敛； 当时，原级数成为，为调和级数（去掉第一项），故发散 （2）； 解 令，原级数成为，对此级数，因为 故原级数的收敛半径，敛区为即 当时，原级数成为它是收敛的 当时，原级数成为是收敛的 （3）； 解 令，原级数成为，对此级数， 故该级数当收敛，当发散，从而原级数当，即收敛；当即发散，所以原级数的收敛半径，敛区为，当或时，原级数成为同一个级数，它是交错级数，且满足莱布尼兹准则的条件，从而是收敛的 （4）； 解 该级数为级数和的和，又是收敛域为（－1，1）对于，因为，故的收敛半径为，敛区为 当时，该级数成为显然发散 当时，级数成为显然发散 从而的收敛域为，故原级数的收敛半径，敛区为，且当或时原级数都发散 （5）； 解 故该级数的收敛半径为，敛区为（－e，e） 当时，原级数成为，该级数通项 ∵为单调递增数列且， 故有，从而， 从而，即数列为单调递增数列，所以，于是发散 同理当时，级数亦发散 （6）； 解 因为，可见对任何值，级数都收敛，故该级数的收敛半径，敛区为 （7）； 解 故该级数的收敛半径，敛区为（－4，4） 当时，原级数成为，该级数通项为 所以数列为单调增数列，从而，于是发散 同理，当时，原级数成为亦发散 （8）； 解 故收敛半径，敛区为（－1，1） 当时，原级数成为，该级数通项 考察函数 故当，即时，，从而为单调增函数，所以当时，数列是单调增加的，因此，故发散 同理，当时，原级数成为亦发散 注 又 ，于是 （9）； 解 因为，故由检根法，当，即时该级数收敛，当即时，该级数发散，所以该级数的收敛半径，敛区为 （10），； 解 故该级数的收敛半径，敛区为 （11），； 解 所以当时该级数的收敛半径为，当时该级数的收敛半径为，从而该级数收敛半径，敛区为（－R，R） （12） 解 先求的收敛半径和敛区； 故级数的收敛半径，敛区为 下面求的收敛半径和敛区 故级数的收敛半径，敛区为 由于原级数是上述这两个级数之和，故其敛区至少是上述两敛区的公共部分，记，则在（－R，R）内原级数收敛，在［－R，R］外，上述两级数一个收敛，另一个发散，故其和即原