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* 第二章 矩阵及其运算 §1 矩阵 行矩阵（行向量)， 列矩阵（列向量)， n 阶矩阵( n 阶方阵). 定义 1 由 m×n 个数 aij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n ) 实矩阵 称为m×n 矩阵. 排成的 m 行n 列数表, 记成 例1 （价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价 这里的行表示商店，列表示商品． ai j 表示每生产一万元第 j 类产品需要消耗的第 a23 = 0.20 就表示每生产一万元 第 3 类产品需要消耗掉0.20万元 例2 （投入—产出矩阵）设某地区有3个经济部门，假定每个 （以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示： 部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用 货币来表示, i 类产品的价值． 的第 2 类产品的价值． 　例３（通路矩阵）甲省两个城市 s1 , s2 与乙省三个城市 t1 , t2 , s1 s2 t1 t2 t3 4 1 3 2 2 　　　　每条线上的数字表示连接该两　 s1 s2 t1 t2 t3 同型矩阵. 矩阵A与B相等, 记成 A = B. 零矩阵, 记成 0 . 城市的不同通路的总数．以由此得到　 的通路信息，可用矩阵表示为： t3 的交通连接情况如下图所示， §2 矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 2 设A =(aij ) , B =(bij ) 都是 m×n 矩阵, 矩阵 A 与B 的和 例 1 记成 A + B, 规定为 矩阵的加法运算满足规律 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( 结合律) 3. A + 0 = A 4. 设A = ( aij ) ,记 – A = ( ? aij ) , 规定 A ? B = A + ( ? B ) 二 数与矩阵的乘法 定义 3 规定为 称 – A 为 A 的负矩阵, 1. A + B = B + A (交换律) 易知 A + ( ? A ) = 0 例 2 若 那么 3A = A3 数乘矩阵的运算满足规律： A, B为矩阵. 三 矩阵与矩阵的乘法 定义4 设 A = ( aij ) 是一个 m×s 矩阵, B = ( bij ) 是一个 s×n A 与 B 的乘积记成 AB， 即 C = AB . 规定 A 与 B 的积为一个 m×n 矩阵 C = ( cij ) ， 其中 A B = AB m×s s×n m×n 矩阵, 例 3 例 4 例 5 例 6 一般来说，AB ≠BA , 若矩阵 A、B 满足 AB = 0, n 阶矩阵 称为单位矩阵. 如果 A 为 m×n 矩阵，那么 即矩阵的乘法不满足交换律. 未必有 A = 0 或 B = 0 的结论. n 阶矩阵 称为对角矩阵. 两个对角矩阵的和是对角矩阵， 两个对角矩阵的积也是对角矩阵. 矩阵的乘法满足下述运算规律 解1 解2 矩阵的幂 A 是一个n 阶矩阵, k 是一个正整数,规定 矩阵的幂满足规律 其中 k , l 为正整数. 对于两个 n 阶矩阵 A与 B，一般说 例 8 解一 解二 例 10 已知线性方程组 如果记 那么上述线性方程组可记成 于是 四 矩阵的转置 定义 5 将矩阵 A 的各行变成同序数的列得到的矩阵称为 A 矩阵的转置满足下述运算规律 记为 AT. 的转置矩阵, 解一 因为 所以 解二 矩阵 A 称为对称矩阵， 容易知道, A = ( aij )n×n是对称矩阵的充要条件是 例 13　如果 A 是一个 n 阶矩阵，那么，A+AＴ是对称矩阵． i , j = 1,2 , ……,n. 矩阵 A 称为反对称矩阵， 如果 AT = A . 如果 AT = ? A . 矩阵 A = ( aij )n×n是反对称矩阵的充要条件是 aij = ? aji , 证 因为 A ? AＴ是反对称矩阵． 所以A+AＴ是对称矩阵． aij = aji , i , j = 1,2 , ……, n. 因为 所以A ? AＴ是反对称矩阵． 例 14 设 A 为 m×n 矩阵, 证 由矩阵的乘法可知 AAＴ是 m 阶的.